Theorem fprodcncf 43448

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15628	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
2	1	mpteq2dv 5177	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
3	2	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
4		prodeq1 15628	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
5	4	mpteq2dv 5177	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
6	5	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
7		prodeq1 15628	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
8	7	mpteq2dv 5177	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
9	8	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
10		prodeq1 15628	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
11	10	mpteq2dv 5177	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
12	11	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13		prod0 15662	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
15	14	mpteq2dv 5177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
16		fprodcncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17		1cnd 10979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		ssidd 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19	16, 17, 18	constcncfg 43420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	15, 19	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
22		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
23		nfcsb1v 3858	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
24	22, 23	nfcprod 15630	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
25		csbeq1a 3847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
27	26	prodeq2dv 15642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
28	21, 24, 27	cbvmpt 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
30		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)
31		nfcsb1v 3858	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
32		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
34		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
35		ssfi 8965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
37	36	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
39		vex 3437	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ V)
41		eldifn 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
42	41	ad2antll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
44		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
45		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑢 ∈ 𝐴)
46	34	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
48		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐵)
50		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
51	23	nfel1 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
52	50, 51	nfim 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
53		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
54	53	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
55	25	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
56	54, 55	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
57		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
58	52, 56, 57	chvarfv 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
59	44, 45, 49, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
60		csbeq1a 3847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
61		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
62		eldifi 4062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63	62	ad2antll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
66		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
67		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
68		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
70		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
71	31, 70	nfel 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
72	69, 71	nfim 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
73		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
74	73	3anbi3d 1441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
75	60	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	74, 75	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
77	72, 76, 58	chvarfv 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	66, 67, 68, 77	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
79	61, 64, 65, 78	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
80	30, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79	fprodsplitsn 15708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
81	80	mpteq2dva 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
82	81	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
83		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶
84		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
85	84, 23	nfcprod 15630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
86	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
87	86	prodeq2dv 15642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
88	83, 85, 87	cbvmpt 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
89	88	eqcomi 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
91		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
92	90, 91	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
93	92	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
94		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
95		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
96	95, 31	nfmpt 5182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
97		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴–cn→ℂ)
98	96, 97	nfel 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
99	94, 98	nfim 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
100	73	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
101	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑦 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
102	101	mpteq2dva 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
103	102	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
104	100, 103	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))))
105		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢𝐶
106	105, 23, 25	cbvmpt 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
107		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
108	106, 107	eqeltrrid 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
109	99, 104, 108	chvarfv 2234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
110	63, 109	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
111	110	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
112	93, 111	mulcncf 24619	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
113	82, 112	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
114	29, 113	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	114	ex 413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
116	3, 6, 9, 12, 20, 115, 32	findcard2d 8958	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433  ⦋csb 3833   ∖ cdif 3885   ∪ cun 3886   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257  {csn 4562   ↦ cmpt 5158  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  ℂcc 10878  1c1 10881   · cmul 10885  ∏cprod 15624  –cn→ccncf 24048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-prod 15625  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050

This theorem is referenced by:  etransclem18  43800  etransclem34  43816  etransclem46  43828