Theorem fprodcncf 45920

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15944	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
2	1	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
3	2	eleq1d 2825	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
4		prodeq1 15944	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
5	4	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
6	5	eleq1d 2825	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
7		prodeq1 15944	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
8	7	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
9	8	eleq1d 2825	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
10		prodeq1 15944	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
11	10	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
12	11	eleq1d 2825	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13		prod0 15980	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
15	14	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
16		fprodcncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17		1cnd 11257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		ssidd 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19	16, 17, 18	constcncfg 45892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	15, 19	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
22		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
23		nfcsb1v 3922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
24	22, 23	nfcprod 15946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
25		csbeq1a 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
27	26	prodeq2dv 15959	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
28	21, 24, 27	cbvmpt 5252	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
30		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)
31		nfcsb1v 3922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
32		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
35		ssfi 9214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
37	36	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
39		vex 3483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ V)
41		eldifn 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
42	41	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
44		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
45		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑢 ∈ 𝐴)
46	34	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐵)
50		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
51	23	nfel1 2921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
52	50, 51	nfim 1895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
53		eleq1w 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
54	53	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
55	25	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
56	54, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
57		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
58	52, 56, 57	chvarfv 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
59	44, 45, 49, 58	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
60		csbeq1a 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
61		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
62		eldifi 4130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63	62	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
66		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
67		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
68		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
70		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
71	31, 70	nfel 2919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
72	69, 71	nfim 1895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
73		eleq1w 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
74	73	3anbi3d 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
75	60	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	74, 75	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
77	72, 76, 58	chvarfv 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	66, 67, 68, 77	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
79	61, 64, 65, 78	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
80	30, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79	fprodsplitsn 16026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
81	80	mpteq2dva 5241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
82	81	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
83		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶
84		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
85	84, 23	nfcprod 15946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
86	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
87	86	prodeq2dv 15959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
88	83, 85, 87	cbvmpt 5252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
89	88	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
91		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
92	90, 91	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
93	92	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
94		nfv 1913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
95		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
96	95, 31	nfmpt 5248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
97		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴–cn→ℂ)
98	96, 97	nfel 2919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
99	94, 98	nfim 1895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
100	73	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
101	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑦 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
102	101	mpteq2dva 5241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
103	102	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
104	100, 103	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))))
105		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢𝐶
106	105, 23, 25	cbvmpt 5252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
107		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
108	106, 107	eqeltrrid 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
109	99, 104, 108	chvarfv 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
110	63, 109	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
111	110	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
112	93, 111	mulcncf 25481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
113	82, 112	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
114	29, 113	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	114	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
116	3, 6, 9, 12, 20, 115, 32	findcard2d 9207	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ⦋csb 3898   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℂcc 11154  1c1 11157   · cmul 11161  ∏cprod 15940  –cn→ccncf 24903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905

This theorem is referenced by:  etransclem18  46272  etransclem34  46288  etransclem46  46300