Theorem fprodcncf 46438

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15920	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
2	1	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
3	2	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
4		prodeq1 15920	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
5	4	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
6	5	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
7		prodeq1 15920	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
8	7	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
9	8	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
10		prodeq1 15920	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
11	10	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
12	11	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13		prod0 15956	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
15	14	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
16		fprodcncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17		1cnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19	16, 17, 18	constcncfg 46410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	15, 19	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
22		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
23		nfcsb1v 3876	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
24	22, 23	nfcprod 15922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
25		csbeq1a 3866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
27	26	prodeq2dv 15935	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
28	21, 24, 27	cbvmpt 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
30		nfv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)
31		nfcsb1v 3876	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
32		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
34		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
35		ssfi 9137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
36	33, 34, 35	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
37	36	adantrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
38	37	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
39		vex 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ V)
41		eldifn 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
42	41	ad2antll 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
43	42	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
44		simplll 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
45		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑢 ∈ 𝐴)
46	34	adantrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
48		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐵)
50		nfv 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
51	23	nfel1 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
52	50, 51	nfim 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
53		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
54	53	3anbi2d 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
55	25	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
56	54, 55	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
57		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
58	52, 56, 57	chvarfv 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
59	44, 45, 49, 58	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
60		csbeq1a 3866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
61		simpll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
62		eldifi 4084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63	62	ad2antll 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
64	63	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
66		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
67		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
68		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		nfv 1933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
70		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
71	31, 70	nfel 2937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
72	69, 71	nfim 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
73		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
74	73	3anbi3d 1462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
75	60	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	74, 75	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
77	72, 76, 58	chvarfv 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	66, 67, 68, 77	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
79	61, 64, 65, 78	syl21anc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
80	30, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79	fprodsplitsn 16002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
81	80	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
82	81	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
83		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶
84		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
85	84, 23	nfcprod 15922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
86	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
87	86	prodeq2dv 15935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
88	83, 85, 87	cbvmpt 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
89	88	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
91		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
92	90, 91	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
93	92	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
94		nfv 1933	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
95		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
96	95, 31	nfmpt 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
97		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴–cn→ℂ)
98	96, 97	nfel 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
99	94, 98	nfim 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
100	73	anbi2d 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
101	60	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑦 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
102	101	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
103	102	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
104	100, 103	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))))
105		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢𝐶
106	105, 23, 25	cbvmpt 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
107		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
108	106, 107	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
109	99, 104, 108	chvarfv 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
110	63, 109	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
111	110	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
112	93, 111	mulcncf 25488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
113	82, 112	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
114	29, 113	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	114	ex 416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
116	3, 6, 9, 12, 20, 115, 32	findcard2d 9131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⦋csb 3852   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  ℂcc 11068  1c1 11071   · cmul 11075  ∏cprod 15916  –cn→ccncf 24918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-prod 15917  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920

This theorem is referenced by:  etransclem18  46790  etransclem34  46806  etransclem46  46818