Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 45920
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15944 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
21mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
32eleq1d 2825 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
4 prodeq1 15944 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝐶)
54mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
65eleq1d 2825 . 2 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
7 prodeq1 15944 . . . 4 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
87mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
98eleq1d 2825 . 2 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
10 prodeq1 15944 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1110mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶))
1211eleq1d 2825 . 2 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
13 prod0 15980 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
1514mpteq2dv 5243 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
17 1cnd 11257 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 ssidd 4006 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
1916, 17, 18constcncfg 45892 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2015, 19eqeltrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
21 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
22 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
23 nfcsb1v 3922 . . . . . . 7 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶
2422, 23nfcprod 15946 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶
25 csbeq1a 3912 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2726prodeq2dv 15959 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
2821, 24, 27cbvmpt 5252 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
2928a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶))
30 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴)
31 nfcsb1v 3922 . . . . . . . 8 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶
32 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
35 ssfi 9214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3736adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
39 vex 3483 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 ∈ V)
41 eldifn 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → ¬ 𝑦𝑧)
4241ad2antll 729 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ¬ 𝑦𝑧)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑦𝑧)
44 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝜑)
45 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢𝐴)
4634adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧𝐵)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑧𝐵)
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
4947, 48sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐵)
50 nfv 1913 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)
5123nfel1 2921 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5250, 51nfim 1895 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
53 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝐴𝑢𝐴))
54533anbi2d 1442 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)))
5525eleq1d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5654, 55imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
57 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
5852, 56, 57chvarfv 2239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
5944, 45, 49, 58syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
60 csbeq1a 3912 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
61 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
62 eldifi 4130 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → 𝑦𝐵)
6362ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑦𝐵)
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
65 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
66 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
67 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
68 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
69 nfv 1913 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)
70 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘
7131, 70nfel 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
7269, 71nfim 1895 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
73 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑦𝐵))
74733anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)))
7560eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
7674, 75imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
7772, 76, 58chvarfv 2239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
7866, 67, 68, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
7961, 64, 65, 78syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
8030, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79fprodsplitsn 16026 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶 = (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
8180mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
8281adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
83 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑘𝑧 𝐶
84 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧
8584, 23nfcprod 15946 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶
8625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑢𝑘𝑧) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
8786prodeq2dv 15959 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘𝑧 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
8883, 85, 87cbvmpt 5252 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
8988eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶)
9089a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
91 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9290, 91eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9392adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
94 nfv 1913 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑦𝐵)
95 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴
9695, 31nfmpt 5248 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
97 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐴cn→ℂ)
9896, 97nfel 2919 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)
9994, 98nfim 1895 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
10073anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
10160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 𝑦𝑢𝐴) → 𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
102101mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
103102eleq1d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
104100, 103imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))))
105 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝐶
106105, 23, 25cbvmpt 5252 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶)
107 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
108106, 107eqeltrrid 2845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
10999, 104, 108chvarfv 2239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11063, 109syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
111110adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11293, 111mulcncf 25481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11382, 112eqeltrd 2840 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11429, 113eqeltrd 2840 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
115114ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
1163, 6, 9, 12, 20, 115, 32findcard2d 9207 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  csb 3898  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  cmpt 5224  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  1c1 11157   · cmul 11161  cprod 15940  cnccncf 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905
This theorem is referenced by:  etransclem18  46272  etransclem34  46288  etransclem46  46300
  Copyright terms: Public domain W3C validator