Theorem fprodcncf 42173

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15255	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
2	1	mpteq2dv 5153	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
3	2	eleq1d 2895	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
4		prodeq1 15255	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
5	4	mpteq2dv 5153	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
6	5	eleq1d 2895	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
7		prodeq1 15255	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
8	7	mpteq2dv 5153	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
9	8	eleq1d 2895	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
10		prodeq1 15255	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
11	10	mpteq2dv 5153	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
12	11	eleq1d 2895	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑤 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
13		prod0 15289	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
15	14	mpteq2dv 5153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1))
16		fprodcncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17		1cnd 10628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		ssidd 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19	16, 17, 18	constcncfg 42143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
20	15, 19	eqeltrd 2911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
21		nfcv 2975	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
22		nfcv 2975	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
23		nfcsb1v 3905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
24	22, 23	nfcprod 15257	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
25		csbeq1a 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
26	25	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
27	26	prodeq2dv 15269	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
28	21, 24, 27	cbvmpt 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
30		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)
31		nfcsb1v 3905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
32		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
34		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
35		ssfi 8730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
36	33, 34, 35	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
37	36	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
38	37	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
39		vex 3496	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ V)
41		eldifn 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
42	41	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
43	42	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
44		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
45		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑢 ∈ 𝐴)
46	34	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
48		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐵)
50		nfv 1909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
51	23	nfel1 2992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
52	50, 51	nfim 1891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
53		eleq1w 2893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
54	53	3anbi2d 1435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
55	25	eleq1d 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
56	54, 55	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
57		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
58	52, 56, 57	chvarfv 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
59	44, 45, 49, 58	syl3anc 1366	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
60		csbeq1a 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
61		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
62		eldifi 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63	62	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
64	63	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
65		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
66		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝜑)
67		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
68		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		nfv 1909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
70		nfcv 2975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
71	31, 70	nfel 2990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
72	69, 71	nfim 1891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
73		eleq1w 2893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
74	73	3anbi3d 1436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
75	60	eleq1d 2895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	74, 75	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
77	72, 76, 58	chvarfv 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	66, 67, 68, 77	syl3anc 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
79	61, 64, 65, 78	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
80	30, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79	fprodsplitsn 15335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
81	80	mpteq2dva 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
82	81	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)))
83		nfcv 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶
84		nfcv 2975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
85	84, 23	nfcprod 15257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶
86	25	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
87	86	prodeq2dv 15269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
88	83, 85, 87	cbvmpt 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
89	88	eqcomi 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
91		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
92	90, 91	eqeltrd 2911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
93	92	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
94		nfv 1909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
95		nfcv 2975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
96	95, 31	nfmpt 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
97		nfcv 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴–cn→ℂ)
98	96, 97	nfel 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)
99	94, 98	nfim 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
100	73	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
101	60	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑦 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
102	101	mpteq2dva 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶))
103	102	eleq1d 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
104	100, 103	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))))
105		nfcv 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢𝐶
106	105, 23, 25	cbvmpt 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)
107		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
108	106, 107	eqeltrrid 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
109	99, 104, 108	chvarfv 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
110	63, 109	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
111	110	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
112	93, 111	mulcncf 24039	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ (∏𝑘 ∈ 𝑧 ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶 · ⦋𝑦 / 𝑘⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
113	82, 112	eqeltrd 2911	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
114	29, 113	eqeltrd 2911	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	114	ex 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑧))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ)))
116	3, 6, 9, 12, 20, 115, 32	findcard2d 8752	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493  ⦋csb 3881   ∖ cdif 3931   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559   ↦ cmpt 5137  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℂcc 10527  1c1 10530   · cmul 10534  ∏cprod 15251  –cn→ccncf 23476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478

This theorem is referenced by:  etransclem18  42527  etransclem34  42543  etransclem46  42555