Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 45351
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„‚)
fprodcncf.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fprodcncf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodcncf.cn ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15885 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
21mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ))
32eleq1d 2810 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
4 prodeq1 15885 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
54mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
65eleq1d 2810 . 2 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
7 prodeq1 15885 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ)
87mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ))
98eleq1d 2810 . 2 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
10 prodeq1 15885 . . . 4 (๐‘ค = ๐ต โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
1110mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ค = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
1211eleq1d 2810 . 2 (๐‘ค = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
13 prod0 15919 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1)
1514mpteq2dv 5245 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„‚)
17 1cnd 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 ssidd 3996 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
1916, 17, 18constcncfg 45323 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
2015, 19eqeltrd 2825 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
21 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ
22 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})
23 nfcsb1v 3909 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
2422, 23nfcprod 15887 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
25 csbeq1a 3898 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2726prodeq2dv 15899 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2821, 24, 27cbvmpt 5254 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2928a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
30 nfv 1909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
31 nfcsb1v 3909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
32 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
34 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
35 ssfi 9196 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3633, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3736adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3837adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
39 vex 3467 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ V)
41 eldifn 4120 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4241ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4342adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
44 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐œ‘)
45 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
4634adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
48 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง)
4947, 48sseldd 3973 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
50 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
5123nfel1 2909 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5250, 51nfim 1891 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
53 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ด))
54533anbi2d 1437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
5525eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5654, 55imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
57 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5852, 56, 57chvarfv 2228 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5944, 45, 49, 58syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
60 csbeq1a 3898 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
61 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
62 eldifi 4119 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6362ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6463adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
65 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
66 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
67 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
68 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
69 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
70 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โ„‚
7131, 70nfel 2907 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
7269, 71nfim 1891 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
74733anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
7560eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
7674, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
7772, 76, 58chvarfv 2228 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7866, 67, 68, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7961, 64, 65, 78syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8030, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79fprodsplitsn 15965 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
8180mpteq2dva 5243 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
8281adantr 479 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
83 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ
84 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ง
8584, 23nfcprod 15887 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
8625adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8786prodeq2dv 15899 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8883, 85, 87cbvmpt 5254 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8988eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
9089a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
91 id 22 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9290, 91eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9392adantl 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
94 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
95 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜๐ด
9695, 31nfmpt 5250 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
97 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9896, 97nfel 2907 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9994, 98nfim 1891 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10073anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
10160adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ = ๐‘ฆ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
102101mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
103102eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
104100, 103imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))))
105 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ข๐ถ
106105, 23, 25cbvmpt 5254 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
107 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
108106, 107eqeltrrid 2830 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10999, 104, 108chvarfv 2228 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11063, 109syldan 589 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
111110adantr 479 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11293, 111mulcncf 25392 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11382, 112eqeltrd 2825 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11429, 113eqeltrd 2825 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
115114ex 411 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
1163, 6, 9, 12, 20, 115, 32findcard2d 9189 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463  โฆ‹csb 3884   โˆ– cdif 3936   โˆช cun 3937   โІ wss 3939  โˆ…c0 4318  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5226  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  โ„‚cc 11136  1c1 11139   ยท cmul 11143  โˆcprod 15881  โ€“cnโ†’ccncf 24814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816
This theorem is referenced by:  etransclem18  45703  etransclem34  45719  etransclem46  45731
  Copyright terms: Public domain W3C validator