Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 44215
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)
fprodcncf.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fprodcncf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodcncf.cn ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15799 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
21mpteq2dv 5212 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ))
32eleq1d 2823 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
4 prodeq1 15799 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
54mpteq2dv 5212 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
65eleq1d 2823 . 2 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
7 prodeq1 15799 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ)
87mpteq2dv 5212 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ))
98eleq1d 2823 . 2 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
10 prodeq1 15799 . . . 4 (๐‘ค = ๐ต โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
1110mpteq2dv 5212 . . 3 (๐‘ค = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
1211eleq1d 2823 . 2 (๐‘ค = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
13 prod0 15833 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1)
1514mpteq2dv 5212 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)
17 1cnd 11157 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 ssidd 3972 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โŠ† โ„‚)
1916, 17, 18constcncfg 44187 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
2015, 19eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
21 nfcv 2908 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ
22 nfcv 2908 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})
23 nfcsb1v 3885 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
2422, 23nfcprod 15801 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
25 csbeq1a 3874 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2726prodeq2dv 15813 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2821, 24, 27cbvmpt 5221 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2928a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
30 nfv 1918 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
31 nfcsb1v 3885 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
32 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐ต)
35 ssfi 9124 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3736adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
39 vex 3452 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ V)
41 eldifn 4092 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4241ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4342adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
44 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐œ‘)
45 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
4634adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐ต)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐ต)
48 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง)
4947, 48sseldd 3950 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
50 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
5123nfel1 2924 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5250, 51nfim 1900 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
53 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ด))
54533anbi2d 1442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
5525eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5654, 55imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
57 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5852, 56, 57chvarfv 2234 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5944, 45, 49, 58syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
60 csbeq1a 3874 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
61 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
62 eldifi 4091 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6362ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6463adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
65 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
66 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
67 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
68 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
69 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
70 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โ„‚
7131, 70nfel 2922 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
7269, 71nfim 1900 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
74733anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
7560eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
7674, 75imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
7772, 76, 58chvarfv 2234 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7866, 67, 68, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7961, 64, 65, 78syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8030, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79fprodsplitsn 15879 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
8180mpteq2dva 5210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
8281adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
83 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ
84 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ง
8584, 23nfcprod 15801 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
8625adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8786prodeq2dv 15813 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8883, 85, 87cbvmpt 5221 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8988eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
9089a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
91 id 22 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9290, 91eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9392adantl 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
94 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
95 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜๐ด
9695, 31nfmpt 5217 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
97 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9896, 97nfel 2922 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9994, 98nfim 1900 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10073anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
10160adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ = ๐‘ฆ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
102101mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
103102eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
104100, 103imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))))
105 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ข๐ถ
106105, 23, 25cbvmpt 5221 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
107 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
108106, 107eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10999, 104, 108chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11063, 109syldan 592 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
111110adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11293, 111mulcncf 24826 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11382, 112eqeltrd 2838 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11429, 113eqeltrd 2838 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
115114ex 414 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
1163, 6, 9, 12, 20, 115, 32findcard2d 9117 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860   โˆ– cdif 3912   โˆช cun 3913   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  {csn 4591   โ†ฆ cmpt 5193  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   ยท cmul 11063  โˆcprod 15795  โ€“cnโ†’ccncf 24255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257
This theorem is referenced by:  etransclem18  44567  etransclem34  44583  etransclem46  44595
  Copyright terms: Public domain W3C validator