Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 45188
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„‚)
fprodcncf.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fprodcncf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fprodcncf.cn ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15859 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
21mpteq2dv 5243 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ))
32eleq1d 2812 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
4 prodeq1 15859 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
54mpteq2dv 5243 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
65eleq1d 2812 . 2 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
7 prodeq1 15859 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ)
87mpteq2dv 5243 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ))
98eleq1d 2812 . 2 (๐‘ค = (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
10 prodeq1 15859 . . . 4 (๐‘ค = ๐ต โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
1110mpteq2dv 5243 . . 3 (๐‘ค = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
1211eleq1d 2812 . 2 (๐‘ค = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
13 prod0 15893 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1)
1514mpteq2dv 5243 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„‚)
17 1cnd 11213 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 ssidd 4000 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
1916, 17, 18constcncfg 45160 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ 1) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
2015, 19eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
21 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ
22 nfcv 2897 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})
23 nfcsb1v 3913 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
2422, 23nfcprod 15861 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
25 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2726prodeq2dv 15873 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2821, 24, 27cbvmpt 5252 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
2928a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
30 nfv 1909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
31 nfcsb1v 3913 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
32 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
35 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3633, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โІ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3736adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
39 vex 3472 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ V)
41 eldifn 4122 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4241ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง)
44 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐œ‘)
45 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
4634adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ต)
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง)
4947, 48sseldd 3978 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
50 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)
5123nfel1 2913 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5250, 51nfim 1891 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
53 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ด))
54533anbi2d 1437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
5525eleq1d 2812 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5654, 55imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
57 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5852, 56, 57chvarfv 2225 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5944, 45, 49, 58syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
60 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
61 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
62 eldifi 4121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6362ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
65 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
66 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐œ‘)
67 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ด)
68 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
69 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
70 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โ„‚
7131, 70nfel 2911 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
7269, 71nfim 1891 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
74733anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
7560eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
7674, 75imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
7772, 76, 58chvarfv 2225 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7866, 67, 68, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7961, 64, 65, 78syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8030, 31, 38, 40, 43, 59, 60, 79fprodsplitsn 15939 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
8180mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
8281adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
83 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ขโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ
84 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ง
8584, 23nfcprod 15861 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
8625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8786prodeq2dv 15873 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8883, 85, 87cbvmpt 5252 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
8988eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ)
9089a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ))
91 id 22 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9290, 91eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
9392adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
94 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
95 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜๐ด
9695, 31nfmpt 5248 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
97 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9896, 97nfel 2911 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)
9994, 98nfim 1891 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10073anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
10160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ = ๐‘ฆ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
102101mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
103102eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
104100, 103imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))))
105 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ข๐ถ
106105, 23, 25cbvmpt 5252 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
107 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
108106, 107eqeltrrid 2832 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
10999, 104, 108chvarfv 2225 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11063, 109syldan 590 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
111110adantr 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11293, 111mulcncf 25329 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘˜โฆŒโฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11382, 112eqeltrd 2827 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})โฆ‹๐‘ข / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
11429, 113eqeltrd 2827 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
115114ex 412 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โІ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ง ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ง โˆช {๐‘ฆ})๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚)))
1163, 6, 9, 12, 20, 115, 32findcard2d 9168 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ (๐ดโ€“cnโ†’โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  {csn 4623   โ†ฆ cmpt 5224  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โˆcprod 15855  โ€“cnโ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  etransclem18  45540  etransclem34  45556  etransclem46  45568
  Copyright terms: Public domain W3C validator