Theorem nmosetre 31423

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 31404 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetre.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmosetre	⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)   𝑁(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem nmosetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌)
2		nmosetre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmosetre.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
4	2, 3	nvcl 31320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
5	1, 4	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
6	5	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
7		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
9	8	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	rexlimdva2 3169	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 3995	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  1c1 11240   ≤ cle 11383  NrmCVeccnv 31243  BaseSetcba 31245  norm_CVcnmcv 31249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-nmcv 31259

This theorem is used by:  nmoxr  31425  nmooge0  31426  nmorepnf  31427  nmoolb  31430  nmoubi  31431  nmlno0lem  31452  nmopsetretHIL  32523