Theorem nmosetre 31189

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 31170 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetre.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmosetre	⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)   𝑁(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem nmosetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌)
2		nmosetre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmosetre.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
4	2, 3	nvcl 31086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
5	1, 4	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
6	5	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
7		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
9	8	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	rexlimdva2 3170	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4022	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11116  1c1 11118   ≤ cle 11261  NrmCVeccnv 31009  BaseSetcba 31011  norm_CVcnmcv 31015

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-nmcv 31025

This theorem is used by:  nmoxr  31191  nmooge0  31192  nmorepnf  31193  nmoolb  31196  nmoubi  31197  nmlno0lem  31218  nmopsetretHIL  32289