Theorem nmosetre 31057

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 31038 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetre.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmosetre	⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem nmosetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌)
2		nmosetre.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmosetre.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
4	2, 3	nvcl 30954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
5	1, 4	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
6	5	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
7		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
9	8	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantrl 728	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	10	rexlimdva2 3174	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4029	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  1c1 11101   ≤ cle 11244  NrmCVeccnv 30877  BaseSetcba 30879  norm_CVcnmcv 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-nmcv 30893

This theorem is referenced by:  nmoxr  31059  nmooge0  31060  nmorepnf  31061  nmoolb  31064  nmoubi  31065  nmlno0lem  31086  nmopsetretHIL  32157