Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetn0 28661
 Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 28641 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmosetn0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nmosetn0.4 𝑀 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nmosetn0 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmosetn0.5 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 28530 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
52, 4nvz0 28564 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) = 0)
6 0le1 11214 . . . . 5 0 ≤ 1
75, 6eqbrtrdi 5075 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) ≤ 1)
8 eqid 2758 . . . 4 (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))
97, 8jctir 524 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
10 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑍))
1110breq1d 5046 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑀𝑦) ≤ 1 ↔ (𝑀𝑍) ≤ 1))
12 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑁‘(𝑇𝑦)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))
1312eqeq2d 2769 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
1411, 13anbi12d 633 . . . 4 (𝑦 = 𝑍 → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))))
1514rspcev 3543 . . 3 ((𝑍𝑋 ∧ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
163, 9, 15syl2anc 587 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
17 fvex 6676 . . 3 (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ V
18 eqeq1 2762 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
1918anbi2d 631 . . . 4 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2019rexbidv 3221 . . 3 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2117, 20elab 3590 . 2 ((𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
2216, 21sylibr 237 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  0cc0 10588  1c1 10589   ≤ cle 10727  NrmCVeccnv 28480  BaseSetcba 28482  0veccn0v 28484  normCVcnmcv 28486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-nmcv 28496 This theorem is referenced by:  nmooge0  28663  nmorepnf  28664
 Copyright terms: Public domain W3C validator