MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetn0 30527
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 30507 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmosetn0.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nmosetn0.4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nmosetn0 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑀   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmosetn0.5 . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 30396 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6 𝑀 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
52, 4nvz0 30430 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘€β€˜π‘) = 0)
6 0le1 11741 . . . . 5 0 ≀ 1
75, 6eqbrtrdi 5180 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘€β€˜π‘) ≀ 1)
8 eqid 2726 . . . 4 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))
97, 8jctir 520 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘€β€˜π‘) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))))
10 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜π‘))
1110breq1d 5151 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 β†’ ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ (π‘€β€˜π‘) ≀ 1))
12 2fveq3 6890 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)))
1312eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 β†’ ((π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ↔ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))))
1411, 13anbi12d 630 . . . 4 (𝑦 = 𝑍 β†’ (((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘€β€˜π‘) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)))))
1514rspcev 3606 . . 3 ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ ((π‘€β€˜π‘) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
163, 9, 15syl2anc 583 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
17 fvex 6898 . . 3 (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) ∈ V
18 eqeq1 2730 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) β†’ (π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ↔ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
1918anbi2d 628 . . . 4 (π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) β†’ (((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2019rexbidv 3172 . . 3 (π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
2117, 20elab 3663 . 2 ((π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
2216, 21sylibr 233 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  0cc0 11112  1c1 11113   ≀ cle 11253  NrmCVeccnv 30346  BaseSetcba 30348  0veccn0v 30350  normCVcnmcv 30352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362
This theorem is referenced by:  nmooge0  30529  nmorepnf  30530
  Copyright terms: Public domain W3C validator