Theorem nmosetn0 30487

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 30467 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetn0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmosetn0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmosetn0.4	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nmosetn0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmosetn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmosetn0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30356	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4		nmosetn0.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
5	2, 4	nvz0 30390	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀‘𝑍) = 0)
6		0le1 11734	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtrdi 5177	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀‘𝑍) ≤ 1)
8		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))
9	7, 8	jctir 520	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))))
10		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑍))
11	10	breq1d 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝑀‘𝑍) ≤ 1))
12		2fveq3 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))
13	12	eqeq2d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → ((𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))))
14	11, 13	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))))
15	14	rspcev 3604	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
16	3, 9, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
17		fvex 6894	. . 3 ⊢ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ V
18		eqeq1 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
19	18	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))))
20	19	rexbidv 3170	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))))
21	17, 20	elab 3660	. 2 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
22	16, 21	sylibr 233	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  0cc0 11106  1c1 11107   ≤ cle 11246  NrmCVeccnv 30306  BaseSetcba 30308  0_veccn0v 30310  norm_CVcnmcv 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-nmcv 30322

This theorem is referenced by:  nmooge0  30489  nmorepnf  30490