Theorem nmosetn0 29028

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 29008 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetn0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmosetn0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmosetn0.4	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nmosetn0	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmosetn0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmosetn0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 28897	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4		nmosetn0.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑈)
5	2, 4	nvz0 28931	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀‘𝑍) = 0)
6		0le1 11428	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtrdi 5109	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀‘𝑍) ≤ 1)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))
9	7, 8	jctir 520	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))))
10		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑍))
11	10	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝑀‘𝑍) ≤ 1))
12		2fveq3 6761	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))
13	12	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → ((𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍))))
14	11, 13	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))))
15	14	rspcev 3552	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀‘𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
16	3, 9, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
17		fvex 6769	. . 3 ⊢ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ V
18		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
19	18	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))))
20	19	rexbidv 3225	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))))
21	17, 20	elab 3602	. 2 ⊢ ((𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑁‘(𝑇‘𝑦))))
22	16, 21	sylibr 233	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇‘𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇‘𝑦)))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849  0_veccn0v 28851  norm_CVcnmcv 28853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-nmcv 28863

This theorem is referenced by:  nmooge0  29030  nmorepnf  29031