MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetn0 28475
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 28455 is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetn0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmosetn0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nmosetn0.4 𝑀 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nmosetn0 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmosetn0
StepHypRef Expression
1 nmosetn0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmosetn0.5 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 28344 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
4 nmosetn0.4 . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
52, 4nvz0 28378 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) = 0)
6 0le1 11157 . . . . 5 0 ≤ 1
75, 6eqbrtrdi 5102 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀𝑍) ≤ 1)
8 eqid 2826 . . . 4 (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))
97, 8jctir 521 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
10 fveq2 6669 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑍))
1110breq1d 5073 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑀𝑦) ≤ 1 ↔ (𝑀𝑍) ≤ 1))
12 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑍 → (𝑁‘(𝑇𝑦)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))
1312eqeq2d 2837 . . . . 5 (𝑦 = 𝑍 → ((𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍))))
1411, 13anbi12d 630 . . . 4 (𝑦 = 𝑍 → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))))
1514rspcev 3627 . . 3 ((𝑍𝑋 ∧ ((𝑀𝑍) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑍)))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
163, 9, 15syl2anc 584 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
17 fvex 6682 . . 3 (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ V
18 eqeq1 2830 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
1918anbi2d 628 . . . 4 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2019rexbidv 3302 . . 3 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑍)) → (∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦)))))
2117, 20elab 3671 . 2 ((𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑁‘(𝑇𝑍)) = (𝑁‘(𝑇𝑦))))
2216, 21sylibr 235 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(𝑇𝑍)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝑀𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑦)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2804  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6354  0cc0 10531  1c1 10532  cle 10670  NrmCVeccnv 28294  BaseSetcba 28296  0veccn0v 28298  normCVcnmcv 28300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-nmcv 28310
This theorem is referenced by:  nmooge0  28477  nmorepnf  28478
  Copyright terms: Public domain W3C validator