Theorem nmooge0 30856

Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmooge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmooge0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4		nmoxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
6	4, 5	nvzcl 30723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
7		ffvelcdm 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
8	6, 7	sylan2 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
9	8	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
10	9	3adant2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
11		nmoxr.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
13	11, 12	nvcl 30750	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
14	3, 10, 13	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11186	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ*)
16		nmoxr.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17	4, 11, 16	nmoxr 30855	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
18	11, 12	nvge0 30762	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
19	3, 10, 18	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
20	11, 12	nmosetre 30853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)
21		ressxr 11180	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstrdi 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
24	4, 5, 23	nmosetn0 30854	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))})
25		supxrub 13267	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
26	22, 24, 25	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
27	26	3impa 1115	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
28	27	3comr 1131	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
29	4, 11, 23, 12, 16	nmooval 30852	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5100	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ (𝑁‘𝑇))
31	2, 15, 17, 19, 30	xrletrd 13104	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  supcsup 9343  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675  0_veccn0v 30677  norm_CVcnmcv 30679   normOp_OLD cnmoo 30830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-nmoo 30834

This theorem is referenced by:  nmlnogt0  30886  htthlem  31006