MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmooge0 30597
Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoxr.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoxr.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmooge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡))
Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11299 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ*)
3 simp2 1134 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
64, 5nvzcl 30464 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
7 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
86, 7sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
98ancoms 457 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
1093adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
11 nmoxr.2 . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
1311, 12nvcl 30491 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ)
143, 10, 13syl2anc 582 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ)
1514rexrd 11302 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ*)
16 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
174, 11, 16nmoxr 30596 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
1811, 12nvge0 30503 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
193, 10, 18syl2anc 582 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
2011, 12nmosetre 30594 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ)
21 ressxr 11296 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
2220, 21sstrdi 3994 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ*)
23 eqid 2728 . . . . . . 7 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
244, 5, 23nmosetn0 30595 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))})
25 supxrub 13343 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ* ∧ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
2622, 24, 25syl2an 594 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
27263impa 1107 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
28273comr 1122 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
294, 11, 23, 12, 16nmooval 30593 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
3028, 29breqtrrd 5180 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 13181 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416  0veccn0v 30418  normCVcnmcv 30420   normOpOLD cnmoo 30571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-nmoo 30575
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  30627  htthlem  30747
  Copyright terms: Public domain W3C validator