Theorem nmooge0 31059

Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmooge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmooge0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11255	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4		nmoxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
6	4, 5	nvzcl 30926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
7		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
8	6, 7	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
9	8	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
10	9	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
11		nmoxr.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
13	11, 12	nvcl 30953	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
14	3, 10, 13	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11258	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ*)
16		nmoxr.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17	4, 11, 16	nmoxr 31058	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
18	11, 12	nvge0 30965	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
19	3, 10, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
20	11, 12	nmosetre 31056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)
21		ressxr 11252	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
24	4, 5, 23	nmosetn0 31057	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))})
25		supxrub 13349	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
26	22, 24, 25	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
27	26	3impa 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
28	27	3comr 1141	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
29	4, 11, 23, 12, 16	nmooval 31055	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5143	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ (𝑁‘𝑇))
31	2, 15, 17, 19, 30	xrletrd 13186	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9399  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  NrmCVeccnv 30876  BaseSetcba 30878  0_veccn0v 30880  norm_CVcnmcv 30882   normOp_OLD cnmoo 31033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-nmcv 30892  df-nmoo 31037

This theorem is referenced by:  nmlnogt0  31089  htthlem  31209