MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmooge0 29947
Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmooge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11245 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
64, 5nvzcl 29814 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
7 ffvelcdm 7069 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
86, 7sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
1093adant2 1131 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
11 nmoxr.2 . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12 eqid 2732 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
1311, 12nvcl 29841 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
143, 10, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
1514rexrd 11248 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ*)
16 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
174, 11, 16nmoxr 29946 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1811, 12nvge0 29853 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
193, 10, 18syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
2011, 12nmosetre 29944 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
21 ressxr 11242 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstrdi 3991 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
244, 5, 23nmosetn0 29945 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))})
25 supxrub 13287 . . . . . 6 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
2622, 24, 25syl2an 596 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
27263impa 1110 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
28273comr 1125 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
294, 11, 23, 12, 16nmooval 29943 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
3028, 29breqtrrd 5170 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ (𝑁𝑇))
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 13125 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wrex 3070  wss 3945   class class class wbr 5142  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  supcsup 9419  cr 11093  0cc0 11094  1c1 11095  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233  NrmCVeccnv 29764  BaseSetcba 29766  0veccn0v 29768  normCVcnmcv 29770   normOpOLD cnmoo 29921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-sup 9421  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-rp 12959  df-seq 13951  df-exp 14012  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-grpo 29673  df-gid 29674  df-ginv 29675  df-ablo 29725  df-vc 29739  df-nv 29772  df-va 29775  df-ba 29776  df-sm 29777  df-0v 29778  df-nmcv 29780  df-nmoo 29925
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  29977  htthlem  30097
  Copyright terms: Public domain W3C validator