Theorem nmooge0 30753

Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmooge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmooge0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11287	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4		nmoxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
6	4, 5	nvzcl 30620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
7		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
10	9	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
11		nmoxr.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
13	11, 12	nvcl 30647	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
14	3, 10, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11290	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ*)
16		nmoxr.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17	4, 11, 16	nmoxr 30752	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
18	11, 12	nvge0 30659	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
19	3, 10, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
20	11, 12	nmosetre 30750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)
21		ressxr 11284	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstrdi 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
24	4, 5, 23	nmosetn0 30751	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))})
25		supxrub 13345	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
27	26	3impa 1109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
28	27	3comr 1125	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
29	4, 11, 23, 12, 16	nmooval 30749	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5152	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ (𝑁‘𝑇))
31	2, 15, 17, 19, 30	xrletrd 13183	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9457  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  NrmCVeccnv 30570  BaseSetcba 30572  0_veccn0v 30574  norm_CVcnmcv 30576   normOp_OLD cnmoo 30727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-grpo 30479  df-gid 30480  df-ginv 30481  df-ablo 30531  df-vc 30545  df-nv 30578  df-va 30581  df-ba 30582  df-sm 30583  df-0v 30584  df-nmcv 30586  df-nmoo 30731

This theorem is referenced by:  nmlnogt0  30783  htthlem  30903