MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmooge0 29751
Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoxr.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoxr.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmooge0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡))

Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11207 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ*)
3 simp2 1138 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
64, 5nvzcl 29618 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
7 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
86, 7sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
98ancoms 460 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
1093adant2 1132 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ)
11 nmoxr.2 . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
1311, 12nvcl 29645 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ)
143, 10, 13syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ)
1514rexrd 11210 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ ℝ*)
16 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
174, 11, 16nmoxr 29750 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
1811, 12nvge0 29657 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
193, 10, 18syl2anc 585 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
2011, 12nmosetre 29748 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ)
21 ressxr 11204 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
2220, 21sstrdi 3957 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ*)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
244, 5, 23nmosetn0 29749 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))})
25 supxrub 13249 . . . . . 6 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ* ∧ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
2622, 24, 25syl2an 597 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
27263impa 1111 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
28273comr 1126 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
294, 11, 23, 12, 16nmooval 29747 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
3028, 29breqtrrd 5134 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 13087 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  0veccn0v 29572  normCVcnmcv 29574   normOpOLD cnmoo 29725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-nmoo 29729
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  29781  htthlem  29901
  Copyright terms: Public domain W3C validator