Theorem nmooge0 31426

Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmooge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmooge0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11395	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4		nmoxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
6	4, 5	nvzcl 31293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
7		ffvelcdm 7113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
8	6, 7	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
9	8	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
10	9	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌)
11		nmoxr.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
13	11, 12	nvcl 31320	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
14	3, 10, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11398	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ ℝ*)
16		nmoxr.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17	4, 11, 16	nmoxr 31425	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ*)
18	11, 12	nvge0 31332	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
19	3, 10, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
20	11, 12	nmosetre 31423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ)
21		ressxr 11392	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstrdi 3925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
24	4, 5, 23	nmosetn0 31424	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))})
25		supxrub 13494	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
26	22, 24, 25	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
27	26	3impa 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
28	27	3comr 1143	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
29	4, 11, 23, 12, 16	nmooval 31422	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5139	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ (𝑁‘𝑇))
31	2, 15, 17, 19, 30	xrletrd 13331	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  supcsup 9469  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  NrmCVeccnv 31243  BaseSetcba 31245  0_veccn0v 31247  norm_CVcnmcv 31249   normOp_OLD cnmoo 31400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-nmcv 31259  df-nmoo 31404

This theorem is used by:  nmlnogt0  31456  htthlem  31576