Theorem nmoolb 31060

Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoolb.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoolb.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoolb.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoolb	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmoolb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoolb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		nmoolb.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
3	1, 2	nmosetre 31053	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
4		ressxr 11249	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	3, 4	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
6	5	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘𝐴))
8	7	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
9		2fveq3 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))
10	9	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
11	8, 10	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))))
12		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))
13	12	biantru 538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
14	11, 13	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
15	14	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ V
17		eqeq1 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
18	17	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
19	18	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	16, 19	elab 3647	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
21	15, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))})
22		supxrub 13346	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
23	6, 21, 22	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
24		nmoolb.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		nmoolb.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
26		nmoolb.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
27	24, 1, 25, 2, 26	nmooval 31052	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
28	27	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
29	23, 28	breqtrrd 5140	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  supcsup 9396  ℝcr 11095  1c1 11097  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  NrmCVeccnv 30873  BaseSetcba 30875  norm_CVcnmcv 30879   normOp_OLD cnmoo 31030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-nmcv 30889  df-nmoo 31034

This theorem is referenced by:  nmblolbii  31088