MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoolb 29713
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoolb.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoolb.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoolb.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmoolb (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoolb.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 nmoolb.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑊)
31, 2nmosetre 29706 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
4 ressxr 11199 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
53, 4sstrdi 3956 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
653adant1 1130 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐿𝑦) = (𝐿𝐴))
87breq1d 5115 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
9 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))
109eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
118, 10anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))))
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))
1312biantru 530 . . . . . 6 ((𝐿𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
1411, 13bitr4di 288 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
1514rspcev 3581 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
16 fvex 6855 . . . . 5 (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ V
17 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1817anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
1918rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2016, 19elab 3630 . . . 4 ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2115, 20sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))})
22 supxrub 13243 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
236, 21, 22syl2an 596 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
24 nmoolb.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25 nmoolb.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
26 nmoolb.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2724, 1, 25, 2, 26nmooval 29705 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2827adantr 481 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2923, 28breqtrrd 5133 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528  normCVcnmcv 29532   normOpOLD cnmoo 29683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542  df-nmoo 29687
This theorem is referenced by:  nmblolbii  29741
  Copyright terms: Public domain W3C validator