Theorem nmoolb 30594

Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoolb.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoolb.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoolb.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoolb	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmoolb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoolb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		nmoolb.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
3	1, 2	nmosetre 30587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
4		ressxr 11289	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	3, 4	sstrdi 3992	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
6	5	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7		fveq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘𝐴))
8	7	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
9		2fveq3 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))
10	9	eqeq2d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
11	8, 10	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))))
12		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))
13	12	biantru 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
14	11, 13	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
15	14	rspcev 3609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16		fvex 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ V
17		eqeq1 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
18	17	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
19	18	rexbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	16, 19	elab 3667	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
21	15, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))})
22		supxrub 13336	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
23	6, 21, 22	syl2an 595	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
24		nmoolb.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		nmoolb.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
26		nmoolb.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
27	24, 1, 25, 2, 26	nmooval 30586	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
28	27	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
29	23, 28	breqtrrd 5176	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9464  ℝcr 11138  1c1 11140  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280  NrmCVeccnv 30407  BaseSetcba 30409  norm_CVcnmcv 30413   normOp_OLD cnmoo 30564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-nmcv 30423  df-nmoo 30568

This theorem is referenced by:  nmblolbii  30622