Theorem nmoolb 31170

Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoolb.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoolb.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoolb.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoolb	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmoolb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoolb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		nmoolb.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
3	1, 2	nmosetre 31163	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
4		ressxr 11264	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	3, 4	sstrdi 3950	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
6	5	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘𝐴))
8	7	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
9		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))
10	9	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
11	8, 10	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))))
12		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))
13	12	biantru 539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
14	11, 13	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
15	14	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ V
17		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
18	17	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
19	18	rexbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	16, 19	elab 3640	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
21	15, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))})
22		supxrub 13362	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
23	6, 21, 22	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
24		nmoolb.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		nmoolb.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
26		nmoolb.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
27	24, 1, 25, 2, 26	nmooval 31162	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
28	27	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
29	23, 28	breqtrrd 5141	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  supcsup 9403  ℝcr 11110  1c1 11112  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  NrmCVeccnv 30983  BaseSetcba 30985  norm_CVcnmcv 30989   normOp_OLD cnmoo 31140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-vc 30958  df-nv 30991  df-va 30994  df-ba 30995  df-sm 30996  df-0v 30997  df-nmcv 30999  df-nmoo 31144

This theorem is used by:  nmblolbii  31198