MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoolb 28852
Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoolb.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoolb.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoolb.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmoolb (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoolb.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 nmoolb.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑊)
31, 2nmosetre 28845 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
4 ressxr 10877 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
53, 4sstrdi 3913 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
653adant1 1132 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐿𝑦) = (𝐿𝐴))
87breq1d 5063 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
9 2fveq3 6722 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))
109eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
118, 10anbi12d 634 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))))
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))
1312biantru 533 . . . . . 6 ((𝐿𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
1411, 13bitr4di 292 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
1514rspcev 3537 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
16 fvex 6730 . . . . 5 (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ V
17 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1817anbi2d 632 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
1918rexbidv 3216 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2016, 19elab 3587 . . . 4 ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2115, 20sylibr 237 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))})
22 supxrub 12914 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
236, 21, 22syl2an 599 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
24 nmoolb.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25 nmoolb.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
26 nmoolb.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2724, 1, 25, 2, 26nmooval 28844 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2827adantr 484 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2923, 28breqtrrd 5081 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  supcsup 9056  cr 10728  1c1 10730  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  NrmCVeccnv 28665  BaseSetcba 28667  normCVcnmcv 28671   normOpOLD cnmoo 28822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-nmcv 28681  df-nmoo 28826
This theorem is referenced by:  nmblolbii  28880
  Copyright terms: Public domain W3C validator