Theorem nmoolb 29133

Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoolb.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoolb.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoolb.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoolb	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmoolb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoolb.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		nmoolb.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
3	1, 2	nmosetre 29126	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
4		ressxr 11019	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5	3, 4	sstrdi 3933	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
6	5	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘𝐴))
8	7	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
9		2fveq3 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))
10	9	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
11	8, 10	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)))))
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))
13	12	biantru 530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿‘𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
14	11, 13	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ (𝐿‘𝐴) ≤ 1))
15	14	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ V
17		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
18	17	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
19	18	rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	16, 19	elab 3609	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
21	15, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))})
22		supxrub 13058	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
23	6, 21, 22	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
24		nmoolb.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		nmoolb.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
26		nmoolb.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
27	24, 1, 25, 2, 26	nmooval 29125	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
28	27	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑁‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
29	23, 28	breqtrrd 5102	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948  norm_CVcnmcv 28952   normOp_OLD cnmoo 29103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962  df-nmoo 29107

This theorem is referenced by:  nmblolbii  29161