MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmorepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmorepnf 30456
Description: The norm of an operator is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmorepnf ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))

Proof of Theorem nmorepnf
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoxr.2 . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 eqid 2724 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
31, 2nmosetre 30452 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
4 nmoxr.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
74, 5, 6nmosetn0 30453 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))})
87ne0d 4327 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ≠ ∅)
9 supxrre2 13306 . . . 4 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ≠ ∅) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
103, 8, 9syl2anr 596 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌)) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
11103impb 1112 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
12 nmoxr.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
134, 1, 6, 2, 12nmooval 30451 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
1413eleq1d 2810 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
1513neeq1d 2992 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
1611, 14, 153bitr4d 311 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wne 2932  wrex 3062  wss 3940  c0 4314   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  supcsup 9430  cr 11104  1c1 11106  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  NrmCVeccnv 30272  BaseSetcba 30274  0veccn0v 30276  normCVcnmcv 30278   normOpOLD cnmoo 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-nmcv 30288  df-nmoo 30433
This theorem is referenced by:  nmoreltpnf  30457  nmogtmnf  30458  nmounbi  30464
  Copyright terms: Public domain W3C validator