MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmorepnf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmorepnf 30021
Description: The norm of an operator is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoxr.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoxr.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmorepnf ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
Proof of Theorem nmorepnf
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoxr.2 . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 eqid 2733 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
31, 2nmosetre 30017 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ)
4 nmoxr.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
74, 5, 6nmosetn0 30018 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))})
87ne0d 4336 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} β‰  βˆ…)
9 supxrre2 13310 . . . 4 (({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ ∧ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} β‰  βˆ…) β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) β‰  +∞))
103, 8, 9syl2anr 598 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)) β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) β‰  +∞))
11103impb 1116 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) β‰  +∞))
12 nmoxr.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
134, 1, 6, 2, 12nmooval 30016 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
1413eleq1d 2819 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
1513neeq1d 3001 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞ ↔ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) β‰  +∞))
1611, 14, 153bitr4d 311 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ (π‘β€˜π‘‡) β‰  +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843   normOpOLD cnmoo 29994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-nmoo 29998
This theorem is referenced by:  nmoreltpnf  30022  nmogtmnf  30023  nmounbi  30029
  Copyright terms: Public domain W3C validator