MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoxr 29750
Description: The norm of an operator is an extended real. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoxr.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoxr.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmoxr ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nmoxr
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoxr.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmoxr.2 . . 3 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . 3 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . 3 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
5 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5nmooval 29747 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
72, 4nmosetre 29748 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ)
8 ressxr 11204 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
97, 8sstrdi 3957 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ*)
10 supxrcl 13240 . . . 4 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ* β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12113adant1 1131 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
136, 12eqeltrd 2834 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„cr 11055  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  normCVcnmcv 29574   normOpOLD cnmoo 29725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-nmoo 29729
This theorem is referenced by:  nmooge0  29751  nmoreltpnf  29753  nmobndi  29759  nmblore  29770  nmlnogt0  29781  isblo3i  29785  ubthlem3  29856
  Copyright terms: Public domain W3C validator