MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoxr 28701
Description: The norm of an operator is an extended real. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmoxr ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem nmoxr
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoxr.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoxr.2 . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 eqid 2738 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4 eqid 2738 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
5 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
61, 2, 3, 4, 5nmooval 28698 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
72, 4nmosetre 28699 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
8 ressxr 10763 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
97, 8sstrdi 3889 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*)
10 supxrcl 12791 . . . 4 ({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12113adant1 1131 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
136, 12eqeltrd 2833 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2716  wrex 3054  wss 3843   class class class wbr 5030  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  supcsup 8977  cr 10614  1c1 10616  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  NrmCVeccnv 28519  BaseSetcba 28521  normCVcnmcv 28525   normOpOLD cnmoo 28676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-nmcv 28535  df-nmoo 28680
This theorem is referenced by:  nmooge0  28702  nmoreltpnf  28704  nmobndi  28710  nmblore  28721  nmlnogt0  28732  isblo3i  28736  ubthlem3  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator