Theorem nmopsetretHIL 29416

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 29391 is a set of reals. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetretHIL	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetretHIL

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2775	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 28715	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		df-hba 28519	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
4	1	hhnm 28721	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	3, 4	nmosetre 28312	. 2 ⊢ ((⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
6	2, 5	mpan 677	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {cab 2755  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3828  ⟨cop 4445   class class class wbr 4927  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  ℝcr 10330  1c1 10332   ≤ cle 10471  NrmCVeccnv 28132   ℋchba 28469   +_ℎ cva 28470   ·_ℎ csm 28471  norm_ℎcno 28473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvmulass 28557  ax-hvdistr1 28558  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560  ax-hfi 28629  ax-his1 28632  ax-his2 28633  ax-his3 28634  ax-his4 28635

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-nmcv 28148  df-hnorm 28518  df-hba 28519  df-hvsub 28521

This theorem is referenced by:  nmopxr  29418  nmoprepnf  29419  nmoplb  29459  nmlnop0iALT  29547  nmopun  29566  pjnmopi  29700