Theorem ntrneix2 44075

Description: An interior (closure) function is expansive if and only if all subsets which contain a point are neighborhoods (convergents) of that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneix2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
2		elpwi 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3	2	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		biimt 360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
6	5	pm5.74da 803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
7		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
9	8	albidv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
10		df-ss 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))
11		df-ral 3045	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
14		ntrnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
15		ntrnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
16		ntrnei.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
20	14, 15, 17, 18, 19	ntrneiel 44063	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
22	21	ralbidva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
23	13, 22	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
25		ralcom 3263	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	24, 25	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ↑_m cmap 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778

This theorem is referenced by: (None)