Theorem ntrneix2 39230

Description: An interior (closure) function is expansive if and only if all subsets which contain a point are neighborhoods (convergents) of that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑𝑚 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneix2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
2		elpwi 4387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3	2	sselda 3826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		biimt 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
6	5	pm5.74da 840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
7		bi2.04 379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
8	6, 7	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
9	8	albidv 2021	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
10		dfss2 3814	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))
11		df-ral 3121	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
12	9, 10, 11	3bitr4g 306	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
14		ntrnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑𝑚 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
15		ntrnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
16		ntrnei.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
17	16	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
18		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
20	14, 15, 17, 18, 19	ntrneiel 39218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
21	20	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
22	21	ralbidva 3193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
23	13, 22	bitrd 271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
25		ralcom 3307	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	24, 25	syl6bb 279	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386  ∀wal 1656   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116  {crab 3120  Vcvv 3413   ⊆ wss 3797  𝒫 cpw 4377   class class class wbr 4872   ↦ cmpt 4951  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↦ cmpt2 6906   ↑_𝑚 cmap 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-map 8123

This theorem is referenced by: (None)