Theorem ntrneix2 44089

Description: An interior (closure) function is expansive if and only if all subsets which contain a point are neighborhoods (convergents) of that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneix2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
2		elpwi 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3	2	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		biimt 360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
6	5	pm5.74da 803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
7		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
9	8	albidv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
10		df-ss 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))
11		df-ral 3046	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
14		ntrnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
15		ntrnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
16		ntrnei.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
20	14, 15, 17, 18, 19	ntrneiel 44077	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
22	21	ralbidva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
23	13, 22	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
25		ralcom 3266	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	24, 25	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804

This theorem is referenced by: (None)