Theorem ntrneix2 41703

Description: An interior (closure) function is expansive if and only if all subsets which contain a point are neighborhoods (convergents) of that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneix2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
2		elpwi 4542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3	2	sselda 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		biimt 361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
6	5	pm5.74da 801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
7		bi2.04 389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
9	8	albidv 1923	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))))
10		dfss2 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)))
11		df-ral 3069	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))))
14		ntrnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
15		ntrnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
16		ntrnei.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
17	16	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
18		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
20	14, 15, 17, 18, 19	ntrneiel 41691	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
21	20	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
22	21	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
23	13, 22	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3111	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))
25		ralcom 3166	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	24, 25	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ⊆ (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617

This theorem is referenced by: (None)