Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 43145
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 43129 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
5 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
76ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
87elpwid 4610 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
98sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 biimt 359 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1211pm5.74da 800 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
13 bi2.04 386 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1412, 13bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
1514albidv 1921 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
16 dfss2 3967 . . . . 5 ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
17 df-ral 3060 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 313 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
193ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
21 simplr 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 43134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
2322imbi1d 340 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2423ralbidva 3173 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2518, 24bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2625ralbidva 3173 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
27 ralcom 3284 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
2826, 27bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator