Theorem ntrneik2 39176

Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑𝑚 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑𝑚 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 39160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑𝑚 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7	6	ffvelrnda 6589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
8	7	elpwid 4365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		biimt 352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
12	11	pm5.74da 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠))))
13		bi2.04 378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
14	12, 13	syl6bb 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
15	14	albidv 2016	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
16		dfss2 3790	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
17		df-ral 3098	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
19	3	ad2antrr 718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20		simpr 478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simplr 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
22	1, 2, 19, 20, 21	ntrneiel 39165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
23	22	imbi1d 333	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
24	23	ralbidva 3170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
25	18, 24	bitrd 271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
26	25	ralbidva 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
27		ralcom 3283	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠))
28	26, 27	syl6bb 279	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385  ∀wal 1651   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3093  {crab 3097  Vcvv 3389   ⊆ wss 3773  𝒫 cpw 4353   class class class wbr 4847   ↦ cmpt 4926  ⟶wf 6101  ‘cfv 6105  (class class class)co 6882   ↦ cmpt2 6884   ↑_𝑚 cmap 8099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-map 8101

This theorem is referenced by: (None)