Theorem ntrneik2 44343

Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 44327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
8	7	elpwid 4563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		biimt 360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
12	11	pm5.74da 803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠))))
13		bi2.04 387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
14	12, 13	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
15	14	albidv 1921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
16		df-ss 3918	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
17		df-ral 3052	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
19	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
22	1, 2, 19, 20, 21	ntrneiel 44332	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
23	22	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
24	23	ralbidva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
25	18, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
26	25	ralbidva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
27		ralcom 3264	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠))
28	26, 27	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765

This theorem is referenced by: (None)