Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 43759
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 43743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵))
5 elmapi 8878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
76ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
87elpwid 4616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
98sselda 3979 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → 𝑥𝐵)
10 biimt 359 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
1211pm5.74da 802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠))))
13 bi2.04 386 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1412, 13bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
1514albidv 1916 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
16 df-ss 3964 . . . . 5 ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))
17 df-ral 3052 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 313 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
193ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
21 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 43748 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
2322imbi1d 340 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2423ralbidva 3166 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2518, 24bitrd 278 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2625ralbidva 3166 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
27 ralcom 3277 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠))
2826, 27bitrdi 286 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  𝒫 cpw 4607   class class class wbr 5153  cmpt 5236  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  m cmap 8855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator