Theorem ntrneik2 44744

Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 44728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
8	7	elpwid 4576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		biimt 363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
12	11	pm5.74da 815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠))))
13		bi2.04 391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
14	12, 13	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
15	14	albidv 1947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
16		df-ss 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
17		df-ral 3086	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
19	3	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
22	1, 2, 19, 20, 21	ntrneiel 44733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
24	23	ralbidva 3192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
25	18, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
26	25	ralbidva 3192	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
27		ralcom 3299	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠))
28	26, 27	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8826

This theorem is referenced by: (None)