Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 39176
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 39160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
5 elmapi 8121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
76ffvelrnda 6589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
87elpwid 4365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
98sselda 3802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → 𝑥𝐵)
10 biimt 352 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
1211pm5.74da 839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠))))
13 bi2.04 378 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1412, 13syl6bb 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
1514albidv 2016 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
16 dfss2 3790 . . . . 5 ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))
17 df-ral 3098 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 306 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
193ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
21 simplr 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 39165 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
2322imbi1d 333 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2423ralbidva 3170 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2518, 24bitrd 271 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2625ralbidva 3170 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
27 ralcom 3283 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠))
2826, 27syl6bb 279 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wal 1651   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3093  {crab 3097  Vcvv 3389  wss 3773  𝒫 cpw 4353   class class class wbr 4847  cmpt 4926  wf 6101  cfv 6105  (class class class)co 6882  cmpt2 6884  𝑚 cmap 8099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-map 8101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator