Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 42843
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 42827 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
5 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
76ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
87elpwid 4612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
98sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 biimt 361 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1211pm5.74da 803 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
13 bi2.04 389 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1412, 13bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
1514albidv 1924 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
16 dfss2 3969 . . . . 5 ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
17 df-ral 3063 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 314 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
193ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
21 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 42832 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
2322imbi1d 342 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2423ralbidva 3176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2518, 24bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2625ralbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
27 ralcom 3287 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
2826, 27bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator