Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 42833
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 42817 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
5 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
76ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
87elpwid 4611 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
98sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 biimt 360 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1211pm5.74da 802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
13 bi2.04 388 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1412, 13bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
1514albidv 1923 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))))
16 dfss2 3968 . . . . 5 ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
17 df-ral 3062 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 313 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
193ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
21 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 42822 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
2322imbi1d 341 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2423ralbidva 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2518, 24bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
2625ralbidva 3175 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
27 ralcom 3286 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
2826, 27bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑m cmap 8819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator