Theorem ntrneik2 44675

Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 44659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
8	7	elpwid 4567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		biimt 363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
12	11	pm5.74da 815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠))))
13		bi2.04 391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
14	12, 13	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
15	14	albidv 1943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
16		df-ss 3924	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
17		df-ral 3080	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
19	3	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
22	1, 2, 19, 20, 21	ntrneiel 44664	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
24	23	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
25	18, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
26	25	ralbidva 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
27		ralcom 3293	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠))
28	26, 27	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402   ↑_m cmap 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814

This theorem is referenced by: (None)