Theorem ntrneik2 45235

Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik2	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑗, 𝑠)   𝑁(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)   𝑂(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 45219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
8	7	elpwid 4569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		biimt 363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)))
12	11	pm5.74da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠))))
13		bi2.04 392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
14	12, 13	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
15	14	albidv 1954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))))
16		df-ss 3901	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
17		df-ral 3081	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
19	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
22	1, 2, 19, 20, 21	ntrneiel 45224	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
24	23	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
25	18, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
26	25	ralbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
27		ralcom 3294	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠))
28	26, 27	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑠)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ↑_m cmap 8861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-map 8863

This theorem is used by: (None)