Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik2 39229
Description: An interior function is contracting if and only if all the neighborhoods of a point contain that point. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik2
StepHypRef Expression
1 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
2 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
41, 2, 3ntrneiiex 39213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
5 elmapi 8143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
76ffvelrnda 6607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
87elpwid 4389 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
98sselda 3826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → 𝑥𝐵)
10 biimt 352 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠)) → (𝑥𝑠 ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑠)))
1211pm5.74da 840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠))))
13 bi2.04 379 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → (𝑥𝐵𝑥𝑠)) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1412, 13syl6bb 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
1514albidv 2021 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))))
16 dfss2 3814 . . . . 5 ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠))
17 df-ral 3121 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
1815, 16, 173bitr4g 306 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠)))
193ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
20 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
21 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
221, 2, 19, 20, 21ntrneiel 39218 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
2322imbi1d 333 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2423ralbidva 3193 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2518, 24bitrd 271 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
2625ralbidva 3193 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
27 ralcom 3307 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠))
2826, 27syl6bb 279 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) → 𝑥𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wal 1656   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116  {crab 3120  Vcvv 3413  wss 3797  𝒫 cpw 4377   class class class wbr 4872  cmpt 4951  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  cmpt2 6906  𝑚 cmap 8121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-map 8123
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator