Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneikb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneikb 42440
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneikb (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 316 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
21albii 1822 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
3 19.21v 1943 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯(Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
4 nne 2948 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ…)
5 elin 3931 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
65imbi1i 350 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
7 noel 4295 . . . . . . . . . . 11 Β¬ π‘₯ ∈ βˆ…
8 imnot 366 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ βˆ… β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
106, 9bitr2i 276 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
1110albii 1822 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
12 dfss2 3935 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
13 ss0b 4362 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)
1411, 12, 133bitr2i 299 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)
154, 14imbi12i 351 . . . . . 6 ((Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
162, 3, 153bitrri 298 . . . . 5 (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
2017, 18, 19ntrneiiex 42422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
21 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2322ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
2524elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
2625sseld 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2726adantrd 493 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2827imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
29 biimt 361 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3130pm5.74da 803 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
32 bi2.04 389 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3331, 32bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
3433albidv 1924 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
35 df-ral 3066 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3634, 35bitr4di 289 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3719ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 42427 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 42427 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
4340, 42anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4443imbi1d 342 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4544ralbidva 3173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4636, 45bitrd 279 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4716, 46bitrid 283 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4847ralbidva 3173 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4948ralbidva 3173 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
50 ralrot3 3279 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
5149, 50bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ↑m cmap 8772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator