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Theorem ntrneikb 42356
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneikb (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑡,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 315 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
21albii 1821 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
3 19.21v 1942 . . . . . 6 (∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
4 nne 2947 . . . . . . 7 (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑡) = ∅)
5 elin 3926 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
65imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7 noel 4290 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 imnot 365 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
106, 9bitr2i 275 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
1110albii 1821 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12 dfss2 3930 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13 ss0b 4357 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
1411, 12, 133bitr2i 298 . . . . . . 7 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
154, 14imbi12i 350 . . . . . 6 ((¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ ((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅))
162, 3, 153bitrri 297 . . . . 5 (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
2017, 18, 19ntrneiiex 42338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵))
21 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2322ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2524elpwid 4569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
2625sseld 3943 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝐵))
2726adantrd 492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥𝐵))
2827imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → 𝑥𝐵)
29 biimt 360 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3130pm5.74da 802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
32 bi2.04 388 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3331, 32bitrdi 286 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
3433albidv 1923 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
35 df-ral 3065 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3634, 35bitr4di 288 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3719ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 42343 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
41 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 42343 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
4340, 42anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥))))
4443imbi1d 341 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4544ralbidva 3172 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4636, 45bitrd 278 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4716, 46bitrid 282 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4847ralbidva 3172 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4948ralbidva 3172 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
50 ralrot3 3276 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
5149, 50bitrdi 286 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767
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