Theorem ntrneikb 45349

Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneikb	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥, 𝑡, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)   𝐼(𝑡, 𝑖, 𝑗, 𝑠)   𝑁(𝑥, 𝑡, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)   𝑂(𝑥, 𝑡, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		con34b 319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
2	1	albii 1852	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
3		19.21v 1974	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
4		nne 2963	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠 ∩ 𝑡) = ∅)
5		elin 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
6	5	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7		noel 4286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		imnot 368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
10	6, 9	bitr2i 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
11	10	albii 1852	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12		df-ss 3901	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13		ss0b 4354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
14	11, 12, 13	3bitr2i 302	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
15	4, 14	imbi12i 353	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅))
16	2, 3, 15	3bitrri 301	. . . . 5 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
17		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
18		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
20	17, 18, 19	ntrneiiex 45331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
21		elmapi 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
23	22	ffvelcdmda 7114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
26	25	sseld 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	26	adantrd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29		biimt 363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
31	30	pm5.74da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
32		bi2.04 392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
33	31, 32	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
34	33	albidv 1955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
35		df-ral 3081	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
36	34, 35	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
37	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
40	17, 18, 37, 38, 39	ntrneiel 45336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
41		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
42	17, 18, 37, 38, 41	ntrneiel 45336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	40, 42	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥))))
44	43	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
45	44	ralbidva 3187	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
46	36, 45	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
47	16, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
48	47	ralbidva 3187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
49	48	ralbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
50		ralrot3 3297	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
51	49, 50	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∈ cmpo 7451   ↑_m cmap 8883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-map 8885

This theorem is used by: (None)