Theorem ntrneikb 44107

Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneikb	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑡,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		con34b 316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
2	1	albii 1819	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
3		19.21v 1939	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
4		nne 2944	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠 ∩ 𝑡) = ∅)
5		elin 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
6	5	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7		noel 4338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		imnot 365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
10	6, 9	bitr2i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
11	10	albii 1819	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12		df-ss 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13		ss0b 4401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
14	11, 12, 13	3bitr2i 299	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
15	4, 14	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅))
16	2, 3, 15	3bitrri 298	. . . . 5 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
17		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
18		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
20	17, 18, 19	ntrneiiex 44089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
21		elmapi 8889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
23	22	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	elpwid 4609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
26	25	sseld 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	26	adantrd 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29		biimt 360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
31	30	pm5.74da 804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
32		bi2.04 387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
33	31, 32	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
34	33	albidv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
35		df-ral 3062	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
36	34, 35	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
37	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
40	17, 18, 37, 38, 39	ntrneiel 44094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
41		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
42	17, 18, 37, 38, 41	ntrneiel 44094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	40, 42	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥))))
44	43	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
45	44	ralbidva 3176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
46	36, 45	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
47	16, 46	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
48	47	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
49	48	ralbidva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
50		ralrot3 3293	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
51	49, 50	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868

This theorem is referenced by: (None)