Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneikb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneikb 43421
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneikb (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 316 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
21albii 1813 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
3 19.21v 1934 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯(Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
4 nne 2938 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ…)
5 elin 3959 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
65imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
7 noel 4325 . . . . . . . . . . 11 Β¬ π‘₯ ∈ βˆ…
8 imnot 365 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ βˆ… β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
106, 9bitr2i 276 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
1110albii 1813 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
12 dfss2 3963 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…))
13 ss0b 4392 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† βˆ… ↔ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)
1411, 12, 133bitr2i 299 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…)
154, 14imbi12i 350 . . . . . 6 ((Β¬ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…))
162, 3, 153bitrri 298 . . . . 5 (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
2017, 18, 19ntrneiiex 43403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
21 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2322ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
2524elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
2625sseld 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2726adantrd 491 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2827imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
29 biimt 360 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3130pm5.74da 801 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
32 bi2.04 387 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3331, 32bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
3433albidv 1915 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
35 df-ral 3056 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3634, 35bitr4di 289 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
3719ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 43408 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
41 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 43408 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
4340, 42anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4443imbi1d 341 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4544ralbidva 3169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4636, 45bitrd 279 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4716, 46bitrid 283 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4847ralbidva 3169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
4948ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
50 ralrot3 3284 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
5149, 50bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∩ 𝑑) = βˆ… β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator