Theorem ntrneikb 42356

Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneikb	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑡,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		con34b 315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
2	1	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
3		19.21v 1942	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
4		nne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠 ∩ 𝑡) = ∅)
5		elin 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
6	5	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7		noel 4290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8		imnot 365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)))
10	6, 9	bitr2i 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
11	10	albii 1821	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12		dfss2 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13		ss0b 4357	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
14	11, 12, 13	3bitr2i 298	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅)
15	4, 14	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅))
16	2, 3, 15	3bitrri 297	. . . . 5 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
17		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
18		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
20	17, 18, 19	ntrneiiex 42338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
21		elmapi 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
23	22	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
25	24	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
26	25	sseld 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
27	26	adantrd 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
28	27	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29		biimt 360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡))) → ((𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
31	30	pm5.74da 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
32		bi2.04 388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
33	31, 32	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
34	33	albidv 1923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))))
35		df-ral 3065	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
36	34, 35	bitr4di 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
37	19	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
40	17, 18, 37, 38, 39	ntrneiel 42343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
41		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
42	17, 18, 37, 38, 41	ntrneiel 42343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	40, 42	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥))))
44	43	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
45	44	ralbidva 3172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
46	36, 45	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑡)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
47	16, 46	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
48	47	ralbidva 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
49	48	ralbidva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))
50		ralrot3 3276	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅))
51	49, 50	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∩ 𝑡) = ∅ → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁‘𝑥)) → (𝑠 ∩ 𝑡) ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767

This theorem is referenced by: (None)