Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneixb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneixb 43148
Description: The interiors (closures) of sets that span the base set also span the base set if and only if the neighborhoods (convergents) of every point contain at least one of every pair of sets that span the base set. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneixb (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneixb
StepHypRef Expression
1 eqss 3996 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡 ↔ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))))
21a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡 ↔ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
3 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
4 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
5 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
63, 4, 5ntrneiiex 43129 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
7 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
98ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
109elpwid 4610 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
1110adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
128ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝒫 𝐡)
1312elpwid 4610 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝐡)
1413adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝐡)
1511, 14unssd 4185 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡)
1615biantrurd 531 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
17 dfss3 3969 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))
18 elun 4147 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
1918ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
2017, 19bitri 274 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
222, 16, 213bitr2d 306 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
2322imbi2d 339 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))))
24 r19.21v 3177 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))))
2524a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))))
265ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
27 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
28 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
293, 4, 26, 27, 28ntrneiel 43134 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
30 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
313, 4, 26, 27, 30ntrneiel 43134 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3229, 31orbi12d 915 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3332imbi2d 339 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3433ralbidva 3173 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3523, 25, 343bitr2d 306 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3635ralbidva 3173 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3736ralbidva 3173 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
38 ralrot3 3288 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3937, 38bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) = 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) = 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator