MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmeq0 28585
Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmeq0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmeq0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmeq0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvmeq0
StepHypRef Expression
1 nvmeq0.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvmeq0.3 . . . . . . 7 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
31, 2nvmcl 28573 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
433expb 1121 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5 nvmeq0.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vec𝑈)
61, 5nvzcl 28561 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑍𝑋)
8 simprr 773 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
94, 7, 83jca 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐵𝑋))
10 eqid 2738 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
111, 10nvrcan 28551 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
129, 11syldan 594 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
13123impb 1116 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
141, 10, 2nvnpcan 28583 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐴)
151, 10, 5nv0lid 28563 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐵)
16153adant2 1132 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐵)
1714, 16eqeq12d 2754 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1813, 17bitr3d 284 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  cfv 6333  (class class class)co 7164  NrmCVeccnv 28511   +𝑣 cpv 28512  BaseSetcba 28513  0veccn0v 28515  𝑣 cnsb 28516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-sub 10943  df-neg 10944  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527
This theorem is referenced by:  nvmid  28586  ip2eqi  28783
  Copyright terms: Public domain W3C validator