Theorem nvmeq0 30863

Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmeq0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmeq0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmeq0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvmeq0.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvmcl 30851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
4	3	3expb 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5		nvmeq0.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
6	1, 5	nvzcl 30839	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑋)
8		simprr 782	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
9	4, 7, 8	3jca 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
10		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1, 10	nvrcan 30829	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
12	9, 11	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
13	12	3impb 1128	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
14	1, 10, 2	nvnpcan 30861	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐴)
15	1, 10, 5	nv0lid 30841	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
16	15	3adant2 1145	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
17	14, 16	eqeq12d 2780	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	13, 17	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  NrmCVeccnv 30789   +_𝑣 cpv 30790  BaseSetcba 30791  0_veccn0v 30793   −_𝑣 cnsb 30794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419  df-grpo 30698  df-gid 30699  df-ginv 30700  df-gdiv 30701  df-ablo 30750  df-vc 30764  df-nv 30797  df-va 30800  df-ba 30801  df-sm 30802  df-0v 30803  df-vs 30804  df-nmcv 30805

This theorem is referenced by:  nvmid  30864  ip2eqi  31061