MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmeq0 29020
Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmeq0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmeq0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmeq0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvmeq0
StepHypRef Expression
1 nvmeq0.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvmeq0.3 . . . . . . 7 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
31, 2nvmcl 29008 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
433expb 1119 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5 nvmeq0.5 . . . . . . 7 𝑍 = (0vec𝑈)
61, 5nvzcl 28996 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑍𝑋)
8 simprr 770 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
94, 7, 83jca 1127 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐵𝑋))
10 eqid 2738 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
111, 10nvrcan 28986 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
129, 11syldan 591 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
13123impb 1114 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
141, 10, 2nvnpcan 29018 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐴)
151, 10, 5nv0lid 28998 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐵)
16153adant2 1130 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) = 𝐵)
1714, 16eqeq12d 2754 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣𝑈)𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1813, 17bitr3d 280 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  NrmCVeccnv 28946   +𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948  0veccn0v 28950  𝑣 cnsb 28951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962
This theorem is referenced by:  nvmid  29021  ip2eqi  29218
  Copyright terms: Public domain W3C validator