Theorem nvmeq0 31260

Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmeq0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmeq0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmeq0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvmeq0.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvmcl 31248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
4	3	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5		nvmeq0.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
6	1, 5	nvzcl 31236	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑋)
8		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
9	4, 7, 8	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1, 10	nvrcan 31226	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
12	9, 11	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
13	12	3impb 1132	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
14	1, 10, 2	nvnpcan 31258	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐴)
15	1, 10, 5	nv0lid 31238	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
16	15	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
17	14, 16	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	13, 17	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  NrmCVeccnv 31186   +_𝑣 cpv 31187  BaseSetcba 31188  0_veccn0v 31190   −_𝑣 cnsb 31191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202

This theorem is used by:  nvmid  31261  ip2eqi  31458