MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsmetlem 30709
Description: Lemma for imsmet 30710. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsmetlem.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
imsmetlem.7 𝑀 = (inv‘𝐺)
imsmetlem.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
imsmetlem.5 𝑍 = (0vec𝑈)
imsmetlem.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsmetlem.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
imsmetlem.9 𝑈 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
21fvexi 6920 . 2 𝑋 ∈ V
3 imsmetlem.9 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
4 imsmetlem.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
51, 4imsdf 30708 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
63, 5ax-mp 5 . 2 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ
7 imsmetlem.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
8 imsmetlem.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
9 imsmetlem.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
101, 7, 8, 9, 4imsdval2 30706 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
113, 10mp3an1 1450 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
1211eqeq1d 2739 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0))
13 neg1cn 12380 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
141, 8nvscl 30645 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
153, 13, 14mp3an12 1453 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
161, 7nvgcl 30639 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
173, 16mp3an1 1450 . . . . 5 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
1815, 17sylan2 593 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
19 imsmetlem.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
201, 19, 9nvz 30688 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
213, 18, 20sylancr 587 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
221, 19nvzcl 30653 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
233, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝑍𝑋
241, 7nvrcan 30643 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
253, 24mpan 690 . . . . . 6 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2623, 25mp3an2 1451 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2718, 26sylancom 588 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
28 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
2915adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
311, 7nvass 30641 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
323, 31mpan 690 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
3328, 29, 30, 32syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
341, 7, 8, 19nvlinv 30671 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
353, 34mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋 → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3635adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3736oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)) = (𝑥𝐺𝑍))
381, 7, 19nv0rid 30654 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
393, 38mpan 690 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4133, 37, 403eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = 𝑥)
421, 7, 19nv0lid 30655 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
433, 42mpan 690 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4443adantl 481 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4541, 44eqeq12d 2753 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4627, 45bitr3d 281 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍𝑥 = 𝑦))
4712, 21, 463bitrd 305 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
48 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
491, 8nvscl 30645 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
503, 13, 49mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
521, 7nvgcl 30639 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
533, 52mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
5448, 51, 53syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
55543adant3 1133 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
561, 7nvgcl 30639 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
573, 56mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
5815, 57sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
59583adant2 1132 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
601, 7, 9nvtri 30689 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
613, 60mp3an1 1450 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
6255, 59, 61syl2anc 584 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
63113adant1 1131 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
64 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑧𝑋)
65153ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
661, 7nvass 30641 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
673, 66mpan 690 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
6855, 64, 65, 67syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
69 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑧𝑋)
701, 7nvass 30641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
713, 70mpan 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
7248, 51, 69, 71syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
731, 7, 8, 19nvlinv 30671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
743, 73mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7675oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)) = (𝑥𝐺𝑍))
7739adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
7872, 76, 773eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
79783adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
8079oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8168, 80eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8281fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
8363, 82eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
841, 7, 8, 9, 4imsdval2 30706 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
853, 84mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
861, 7, 8, 9nvdif 30685 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
873, 86mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
8885, 87eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
89883adant3 1133 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
901, 7, 8, 9, 4imsdval2 30706 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
913, 90mp3an1 1450 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
92913adant2 1132 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
9389, 92oveq12d 7449 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
9462, 83, 933brtr4d 5175 . . 3 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
95943coml 1128 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
962, 6, 47, 95ismeti 24335 1 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  -cneg 11493  Metcmet 21350  invcgn 30510  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  0veccn0v 30607  normCVcnmcv 30609  IndMetcims 30610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-met 21358  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620
This theorem is referenced by:  imsmet  30710
  Copyright terms: Public domain W3C validator