MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsmetlem 30572
Description: Lemma for imsmet 30573. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsmetlem.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
imsmetlem.7 𝑀 = (inv‘𝐺)
imsmetlem.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
imsmetlem.5 𝑍 = (0vec𝑈)
imsmetlem.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsmetlem.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
imsmetlem.9 𝑈 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
21fvexi 6910 . 2 𝑋 ∈ V
3 imsmetlem.9 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
4 imsmetlem.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
51, 4imsdf 30571 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
63, 5ax-mp 5 . 2 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ
7 imsmetlem.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
8 imsmetlem.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
9 imsmetlem.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
101, 7, 8, 9, 4imsdval2 30569 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
113, 10mp3an1 1444 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
1211eqeq1d 2727 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0))
13 neg1cn 12359 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
141, 8nvscl 30508 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
153, 13, 14mp3an12 1447 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
161, 7nvgcl 30502 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
173, 16mp3an1 1444 . . . . 5 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
1815, 17sylan2 591 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
19 imsmetlem.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
201, 19, 9nvz 30551 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
213, 18, 20sylancr 585 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))) = 0 ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
221, 19nvzcl 30516 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
233, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝑍𝑋
241, 7nvrcan 30506 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
253, 24mpan 688 . . . . . 6 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2623, 25mp3an2 1445 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
2718, 26sylancom 586 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍))
28 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
2915adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
30 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
311, 7nvass 30504 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
323, 31mpan 688 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)))
341, 7, 8, 19nvlinv 30534 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
353, 34mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋 → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3635adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦) = 𝑍)
3736oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑦)𝐺𝑦)) = (𝑥𝐺𝑍))
381, 7, 19nv0rid 30517 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
393, 38mpan 688 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4039adantr 479 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
4133, 37, 403eqtrd 2769 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = 𝑥)
421, 7, 19nv0lid 30518 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
433, 42mpan 688 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4443adantl 480 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑍𝐺𝑦) = 𝑦)
4541, 44eqeq12d 2741 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))𝐺𝑦) = (𝑍𝐺𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4627, 45bitr3d 280 . . 3 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)) = 𝑍𝑥 = 𝑦))
4712, 21, 463bitrd 304 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
48 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
491, 8nvscl 30508 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
503, 13, 49mp3an12 1447 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
5150adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋)
521, 7nvgcl 30502 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
533, 52mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
5448, 51, 53syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
55543adant3 1129 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋)
561, 7nvgcl 30502 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
573, 56mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
5815, 57sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
59583adant2 1128 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋)
601, 7, 9nvtri 30552 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
613, 60mp3an1 1444 . . . . 5 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
6255, 59, 61syl2anc 582 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) ≤ ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
63113adant1 1127 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
64 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑧𝑋)
65153ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
661, 7nvass 30504 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
673, 66mpan 688 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋 ∧ (-1𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
6855, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
69 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → 𝑧𝑋)
701, 7nvass 30504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
713, 70mpan 688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (-1𝑆𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
7248, 51, 69, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)))
731, 7, 8, 19nvlinv 30534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
743, 73mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧) = 𝑍)
7675oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺((-1𝑆𝑧)𝐺𝑧)) = (𝑥𝐺𝑍))
7739adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑥𝐺𝑍) = 𝑥)
7872, 76, 773eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
79783adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧) = 𝑥)
8079oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺𝑧)𝐺(-1𝑆𝑦)) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8168, 80eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))) = (𝑥𝐺(-1𝑆𝑦)))
8281fveq2d 6900 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑦))))
8363, 82eqtr4d 2768 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘((𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))𝐺(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
841, 7, 8, 9, 4imsdval2 30569 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
853, 84mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))))
861, 7, 8, 9nvdif 30548 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
873, 86mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑥))) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
8885, 87eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
89883adant3 1129 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))))
901, 7, 8, 9, 4imsdval2 30569 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
913, 90mp3an1 1444 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
92913adant2 1128 . . . . 5 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦))))
9389, 92oveq12d 7437 . . . 4 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1𝑆𝑧))) + (𝑁‘(𝑧𝐺(-1𝑆𝑦)))))
9462, 83, 933brtr4d 5181 . . 3 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
95943coml 1124 . 2 ((𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
962, 6, 47, 95ismeti 24275 1 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149   × cxp 5676  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  cle 11281  -cneg 11477  Metcmet 21282  invcgn 30373  NrmCVeccnv 30466   +𝑣 cpv 30467  BaseSetcba 30468   ·𝑠OLD cns 30469  0veccn0v 30470  normCVcnmcv 30472  IndMetcims 30473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-met 21290  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483
This theorem is referenced by:  imsmet  30573
  Copyright terms: Public domain W3C validator