Theorem oe0m0 8457

Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6380	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oe0m 8455	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4		dif0 4332	. 2 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
5	3, 4	eqtri 2760	1 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  Oncon0 6325  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400   ↑_o coe 8406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oexp 8413

This theorem is referenced by:  oe0  8459  oev2  8460  oesuclem  8462  oecl  8474  oeoa  8535  oeoe  8537