Theorem oe0m0 8566

Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6444	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oe0m 8564	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4		dif0 4330	. 2 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
5	3, 4	eqtri 2786	1 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  Oncon0 6388  (class class class)co 7451  1_oc1o 8507   ↑_o coe 8513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oexp 8520

This theorem is used by:  oe0  8568  oev2  8569  oesuclem  8571  oecl  8583  oeoa  8644  oeoe  8646