MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m0 8470
Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0 (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 6375 . . 3 ∅ ∈ On
2 oe0m 8468 . . 3 (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
31, 2ax-mp 5 . 2 (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4 dif0 4336 . 2 (1o ∖ ∅) = 1o
53, 4eqtri 2761 1 (∅ ↑o ∅) = 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3911  c0 4286  Oncon0 6321  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oe0  8472  oev2  8473  oesuclem  8475  oecl  8487  oeoa  8548  oeoe  8550
  Copyright terms: Public domain W3C validator