Theorem oe0m0 8519

Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6418	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oe0m 8517	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4		dif0 4372	. 2 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
5	3, 4	eqtri 2760	1 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  Oncon0 6364  (class class class)co 7408  1_oc1o 8458   ↑_o coe 8464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oexp 8471

This theorem is referenced by:  oe0  8521  oev2  8522  oesuclem  8524  oecl  8536  oeoa  8596  oeoe  8598