Theorem oe0m0 8515

Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6415	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oe0m 8513	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4		dif0 4371	. 2 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
5	3, 4	eqtri 2761	1 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3944  ∅c0 4321  Oncon0 6361  (class class class)co 7404  1_oc1o 8454   ↑_o coe 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oexp 8467

This theorem is referenced by:  oe0  8517  oev2  8518  oesuclem  8520  oecl  8532  oeoa  8593  oeoe  8595