Theorem oe0m0 8532

Description: Ordinal exponentiation with zero base and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6407	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oe0m 8530	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ↑o ∅) = (1o ∖ ∅)
4		dif0 4353	. 2 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
5	3, 4	eqtri 2758	1 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923  ∅c0 4308  Oncon0 6352  (class class class)co 7405  1_oc1o 8473   ↑_o coe 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oexp 8486

This theorem is referenced by:  oe0  8534  oev2  8535  oesuclem  8537  oecl  8549  oeoa  8609  oeoe  8611