Theorem ofcccat 34520

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofcccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ofcccat	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcccat.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
2		ofcccat.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
3		ofcccat.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)
4		fconst6g 6810	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5		iswrdi 14566	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7		fconst6g 6810	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8		iswrdi 14566	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10		fzofi 14025	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11		snfi 9109	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
12		hashxp 14483	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
13	10, 11, 12	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14		lencl 14581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15		hashfzo0 14479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17		hashsng 14418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
19	16, 18	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
20	1, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
23	19, 22	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
24	13, 23	eqtr2id 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25		fzofi 14025	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26		hashxp 14483	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
27	25, 11, 26	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28		lencl 14581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29		hashfzo0 14479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
30	2, 28, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
31	30, 18	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
32	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
35	31, 34	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
36	27, 35	eqtr2id 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
37	1, 2, 6, 9, 24, 36	ofccat 15018	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38		ccatcl 14622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
39	1, 2, 38	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40		wrdf 14567	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42		ovexd 7483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
43	41, 42, 3	ofcof 34071	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45		ccatlen 14623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
46	1, 2, 45	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
47	46	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
48	47	xpeq1d 5729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
51	49, 50, 44, 3, 20, 32	ccatmulgnn0dir 34519	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
52	44, 48, 51	3eqtr4a 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
53	52	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
54	43, 53	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55		wrdf 14567	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
56	1, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57		ovexd 7483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
58	56, 57, 3	ofcof 34071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59		wrdf 14567	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
60	2, 59	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61		ovexd 7483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
62	60, 61, 3	ofcof 34071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
63	58, 62	oveq12d 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
64	37, 54, 63	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Fincfn 9003  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618   ∘_f/c cofc 34059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-ofc 34060

This theorem is referenced by:  ofcs2  34522