Theorem ofcccat 34850

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofcccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ofcccat	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcccat.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
2		ofcccat.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
3		ofcccat.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)
4		fconst6g 6757	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5		iswrdi 14544	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7		fconst6g 6757	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8		iswrdi 14544	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
9	3, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10		fzofi 14001	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11		snfi 9028	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
12		hashxp 14461	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
13	10, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14		lencl 14560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15		hashfzo0 14457	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
16	1, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17		hashsng 14396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
18	3, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
19	16, 18	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
20	1, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
23	19, 22	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
24	13, 23	eqtr2id 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25		fzofi 14001	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26		hashxp 14461	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
27	25, 11, 26	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28		lencl 14560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29		hashfzo0 14457	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
30	2, 28, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
31	30, 18	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
32	2, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
35	31, 34	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
36	27, 35	eqtr2id 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
37	1, 2, 6, 9, 24, 36	ofccat 14996	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38		ccatcl 14601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
39	1, 2, 38	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40		wrdf 14545	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
41	39, 40	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42		ovexd 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
43	41, 42, 3	ofcof 34414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45		ccatlen 14602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
46	1, 2, 45	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
47	46	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
48	47	xpeq1d 5681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
51	49, 50, 44, 3, 20, 32	ccatmulgnn0dir 34849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
52	44, 48, 51	3eqtr4a 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
53	52	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
54	43, 53	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55		wrdf 14545	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
56	1, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57		ovexd 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
58	56, 57, 3	ofcof 34414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59		wrdf 14545	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
60	2, 59	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61		ovexd 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
62	60, 61, 3	ofcof 34414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
63	58, 62	oveq12d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
64	37, 54, 63	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585   × cxp 5650  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Fincfn 8931  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540   ++ cconcat 14597   ∘_f/c cofc 34402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-ofc 34403

This theorem is referenced by:  ofcs2  34852