Theorem ofcccat 34577

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofcccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ofcccat	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcccat.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
2		ofcccat.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
3		ofcccat.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)
4		fconst6g 6717	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5		iswrdi 14426	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7		fconst6g 6717	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8		iswrdi 14426	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10		fzofi 13883	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11		snfi 8972	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
12		hashxp 14343	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14		lencl 14442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15		hashfzo0 14339	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17		hashsng 14278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
19	16, 18	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
20	1, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
23	19, 22	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
24	13, 23	eqtr2id 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25		fzofi 13883	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26		hashxp 14343	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
27	25, 11, 26	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28		lencl 14442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29		hashfzo0 14339	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
30	2, 28, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
31	30, 18	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
32	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 12451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
35	31, 34	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
36	27, 35	eqtr2id 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
37	1, 2, 6, 9, 24, 36	ofccat 14878	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38		ccatcl 14483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
39	1, 2, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40		wrdf 14427	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42		ovexd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
43	41, 42, 3	ofcof 34141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45		ccatlen 14484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
46	1, 2, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
47	46	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
48	47	xpeq1d 5648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
51	49, 50, 44, 3, 20, 32	ccatmulgnn0dir 34576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
52	44, 48, 51	3eqtr4a 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
53	52	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
54	43, 53	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55		wrdf 14427	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
56	1, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57		ovexd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
58	56, 57, 3	ofcof 34141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59		wrdf 14427	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
60	2, 59	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61		ovexd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
62	60, 61, 3	ofcof 34141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
63	58, 62	oveq12d 7370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
64	37, 54, 63	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4575   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  Fincfn 8875  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  ℕ₀cn0 12388  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479   ∘_f/c cofc 34129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-ofc 34130

This theorem is referenced by:  ofcs2  34579