Theorem ofcccat 31808

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofcccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ofcccat	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcccat.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
2		ofcccat.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
3		ofcccat.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)
4		fconst6g 6562	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5		iswrdi 13859	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7		fconst6g 6562	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8		iswrdi 13859	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10		fzofi 13336	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11		snfi 8588	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
12		hashxp 13789	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14		lencl 13877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15		hashfzo0 13785	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17		hashsng 13724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
19	16, 18	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
20	1, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
23	19, 22	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
24	13, 23	syl5req 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25		fzofi 13336	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26		hashxp 13789	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
27	25, 11, 26	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28		lencl 13877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29		hashfzo0 13785	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
30	2, 28, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
31	30, 18	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
32	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
33	32	nn0cnd 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
34	33	mulid1d 10652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
35	31, 34	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
36	27, 35	syl5req 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
37	1, 2, 6, 9, 24, 36	ofccat 14323	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38		ccatcl 13920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
39	1, 2, 38	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40		wrdf 13860	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42		ovexd 7185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
43	41, 42, 3	ofcof 31361	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45		ccatlen 13921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
46	1, 2, 45	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
47	46	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
48	47	xpeq1d 5578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
51	49, 50, 44, 3, 20, 32	ccatmulgnn0dir 31807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
52	44, 48, 51	3eqtr4a 2882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
53	52	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
54	43, 53	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55		wrdf 13860	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
56	1, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57		ovexd 7185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
58	56, 57, 3	ofcof 31361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59		wrdf 13860	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
60	2, 59	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61		ovexd 7185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
62	60, 61, 3	ofcof 31361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾) = (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
63	58, 62	oveq12d 7168	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
64	37, 54, 63	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ∘f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺 ∘f/c 𝑅𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  {csn 4560   × cxp 5547  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℕ₀cn0 11891  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13916   ∘_f/c cofc 31349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-ofc 31350

This theorem is referenced by:  ofcs2  31810