Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 34537
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3 (𝜑𝐾𝑇)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
2 ofcccat.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
3 ofcccat.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝑇)
4 fconst6g 6798 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5 iswrdi 14553 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7 fconst6g 6798 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8 iswrdi 14553 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10 fzofi 14012 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11 snfi 9082 . . . . 5 {𝐾} ∈ Fin
12 hashxp 14470 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
1310, 11, 12mp2an 692 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14 lencl 14568 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15 hashfzo0 14466 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
161, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17 hashsng 14405 . . . . . . 7 (𝐾𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1916, 18oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
201, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2221mulridd 11276 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
2319, 22eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
2413, 23eqtr2id 2788 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25 fzofi 14012 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26 hashxp 14470 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
2725, 11, 26mp2an 692 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28 lencl 14568 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29 hashfzo0 14466 . . . . . . 7 ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
302, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3130, 18oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
322, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
3433mulridd 11276 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
3531, 34eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
3627, 35eqtr2id 2788 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
371, 2, 6, 9, 24, 36ofccat 15005 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38 ccatcl 14609 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
391, 2, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40 wrdf 14554 . . . . 5 ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
4341, 42, 3ofcof 34088 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44 eqid 2735 . . . . 5 ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45 ccatlen 14610 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
461, 2, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
4746oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
4847xpeq1d 5718 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49 eqid 2735 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50 eqid 2735 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
5149, 50, 44, 3, 20, 32ccatmulgnn0dir 34536 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
5244, 48, 513eqtr4a 2801 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
5352oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
5443, 53eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55 wrdf 14554 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
561, 55syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
5856, 57, 3ofcof 34088 . . 3 (𝜑 → (𝐹f/c 𝑅𝐾) = (𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59 wrdf 14554 . . . . 5 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
602, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
6260, 61, 3ofcof 34088 . . 3 (𝜑 → (𝐺f/c 𝑅𝐾) = (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
6358, 62oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
6437, 54, 633eqtr4d 2785 1 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  f/c cofc 34076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-ofc 34077
This theorem is referenced by:  ofcs2  34539
  Copyright terms: Public domain W3C validator