Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 33554
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ Word ๐‘†)
ofcccat.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Word ๐‘†)
ofcccat.3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘‡)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = ((๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) ++ (๐บ โˆ˜f/c ๐‘…๐พ)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ Word ๐‘†)
2 ofcccat.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Word ๐‘†)
3 ofcccat.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘‡)
4 fconst6g 6781 . . . 4 (๐พ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}):(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))โŸถ๐‘‡)
5 iswrdi 14468 . . . 4 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}):(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))โŸถ๐‘‡ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) โˆˆ Word ๐‘‡)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) โˆˆ Word ๐‘‡)
7 fconst6g 6781 . . . 4 (๐พ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}):(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))โŸถ๐‘‡)
8 iswrdi 14468 . . . 4 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}):(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))โŸถ๐‘‡ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}) โˆˆ Word ๐‘‡)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}) โˆˆ Word ๐‘‡)
10 fzofi 13939 . . . . 5 (0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) โˆˆ Fin
11 snfi 9044 . . . . 5 {๐พ} โˆˆ Fin
12 hashxp 14394 . . . . 5 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) โˆˆ Fin โˆง {๐พ} โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . 4 (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
14 lencl 14483 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ Word ๐‘† โ†’ (โ™ฏโ€˜๐น) โˆˆ โ„•0)
15 hashfzo0 14390 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐น) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) = (โ™ฏโ€˜๐น))
161, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) = (โ™ฏโ€˜๐น))
17 hashsng 14329 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐พ}) = 1)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐พ}) = 1)
1916, 18oveq12d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜๐น) ยท 1))
201, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐น) โˆˆ โ„•0)
2120nn0cnd 12534 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐น) โˆˆ โ„‚)
2221mulridd 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐น) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐น))
2319, 22eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = (โ™ฏโ€˜๐น))
2413, 23eqtr2id 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐น) = (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})))
25 fzofi 13939 . . . . 5 (0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) โˆˆ Fin
26 hashxp 14394 . . . . 5 (((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) โˆˆ Fin โˆง {๐พ} โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})))
2725, 11, 26mp2an 691 . . . 4 (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
28 lencl 14483 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Word ๐‘† โ†’ (โ™ฏโ€˜๐บ) โˆˆ โ„•0)
29 hashfzo0 14390 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐บ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) = (โ™ฏโ€˜๐บ))
302, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) = (โ™ฏโ€˜๐บ))
3130, 18oveq12d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜๐บ) ยท 1))
322, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐บ) โˆˆ โ„•0)
3332nn0cnd 12534 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐บ) โˆˆ โ„‚)
3433mulridd 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐บ) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐บ))
3531, 34eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = (โ™ฏโ€˜๐บ))
3627, 35eqtr2id 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐บ) = (โ™ฏโ€˜((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})))
371, 2, 6, 9, 24, 36ofccat 14916 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f ๐‘…(((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) ++ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}))) = ((๐น โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})) ++ (๐บ โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}))))
38 ccatcl 14524 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐บ โˆˆ Word ๐‘†) โ†’ (๐น ++ ๐บ) โˆˆ Word ๐‘†)
391, 2, 38syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐น ++ ๐บ) โˆˆ Word ๐‘†)
40 wrdf 14469 . . . . 5 ((๐น ++ ๐บ) โˆˆ Word ๐‘† โ†’ (๐น ++ ๐บ):(0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ)))โŸถ๐‘†)
4139, 40syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐น ++ ๐บ):(0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ)))โŸถ๐‘†)
42 ovexd 7444 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) โˆˆ V)
4341, 42, 3ofcof 33105 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) ร— {๐พ})))
44 eqid 2733 . . . . 5 ((0..^((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ))) ร— {๐พ}) = ((0..^((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ))) ร— {๐พ})
45 ccatlen 14525 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐บ โˆˆ Word ๐‘†) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ)) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ)))
461, 2, 45syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ)) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ)))
4746oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) = (0..^((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ))))
4847xpeq1d 5706 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) ร— {๐พ}) = ((0..^((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ))) ร— {๐พ}))
49 eqid 2733 . . . . . 6 ((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) = ((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})
50 eqid 2733 . . . . . 6 ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}) = ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})
5149, 50, 44, 3, 20, 32ccatmulgnn0dir 33553 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) ++ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})) = ((0..^((โ™ฏโ€˜๐น) + (โ™ฏโ€˜๐บ))) ร— {๐พ}))
5244, 48, 513eqtr4a 2799 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) ร— {๐พ}) = (((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) ++ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})))
5352oveq2d 7425 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜(๐น ++ ๐บ))) ร— {๐พ})) = ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f ๐‘…(((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) ++ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}))))
5443, 53eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f ๐‘…(((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ}) ++ ((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}))))
55 wrdf 14469 . . . . 5 (๐น โˆˆ Word ๐‘† โ†’ ๐น:(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))โŸถ๐‘†)
561, 55syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(0..^(โ™ฏโ€˜๐น))โŸถ๐‘†)
57 ovexd 7444 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) โˆˆ V)
5856, 57, 3ofcof 33105 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = (๐น โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})))
59 wrdf 14469 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Word ๐‘† โ†’ ๐บ:(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))โŸถ๐‘†)
602, 59syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(0..^(โ™ฏโ€˜๐บ))โŸถ๐‘†)
61 ovexd 7444 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) โˆˆ V)
6260, 61, 3ofcof 33105 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = (๐บ โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ})))
6358, 62oveq12d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) ++ (๐บ โˆ˜f/c ๐‘…๐พ)) = ((๐น โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐น)) ร— {๐พ})) ++ (๐บ โˆ˜f ๐‘…((0..^(โ™ฏโ€˜๐บ)) ร— {๐พ}))))
6437, 54, 633eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ++ ๐บ) โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) = ((๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐พ) ++ (๐บ โˆ˜f/c ๐‘…๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629   ร— cxp 5675  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  ..^cfzo 13627  โ™ฏchash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520   โˆ˜f/c cofc 33093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-ofc 33094
This theorem is referenced by:  ofcs2  33556
  Copyright terms: Public domain W3C validator