Theorem 0nn0 12538

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 12525	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
3	2	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 876	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  0cc0 11152  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-mulcl 11214  ax-i2m1 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1539  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-v 3479  df-un 3967  df-sn 4631  df-n0 12524

This theorem is referenced by:  0xnn0  12602  nn0ind-raph  12715  10nn0  12748  declei  12766  numlti  12767  nummul1c  12779  decaddc2  12786  decrmanc  12787  decrmac  12788  decaddm10  12789  decaddi  12790  decaddci  12791  decaddci2  12792  decmul1  12794  decmulnc  12797  6p5e11  12803  7p4e11  12806  8p3e11  12811  9p2e11  12817  10p10e20  12825  xnn0n0n1ge2b  13170  0elfz  13660  4fvwrd4  13684  fvinim0ffz  13821  ssnn0fi  14022  fsuppmapnn0fiubex  14029  exple1  14212  nn0opth2  14307  faclbnd4lem3  14330  bc0k  14346  bcn1  14348  bccl  14357  hasheq0  14398  hashrabrsn  14407  hashbc  14488  fi1uzind  14542  brfi1ind  14544  opfi1ind  14547  iswrdi  14552  wrdnfi  14582  s1fv  14644  ccat2s1fst  14673  splfv2a  14790  repsw0  14811  0csh0  14827  cshw1  14856  s2fv0  14922  s3fv0  14926  s4fv0  14930  pfx2  14982  ofs1  15005  relexp0g  15057  relexpaddg  15088  rtrclreclem2  15094  fsumnn0cl  15768  binom  15862  bcxmas  15867  isumnn0nn  15874  climcndslem1  15881  geoser  15899  geomulcvg  15908  risefac0  16059  fallfac0  16060  risefac1  16065  fallfac1  16066  binomfallfaclem2  16072  binomfallfac  16073  bpoly0  16082  bpoly2  16089  bpoly3  16090  bpoly4  16091  fsumcube  16092  ef0lem  16110  ege2le3  16122  ef4p  16145  efgt1p2  16146  efgt1p  16147  ruclem11  16272  nthruz  16285  nn0o  16416  ndvdssub  16442  5ndvds3  16446  bits0  16461  0bits  16472  sadcf  16486  sadc0  16487  sadcaddlem  16490  sadcadd  16491  sadadd2lem  16492  sadadd2  16493  smupf  16511  smup0  16512  smumullem  16525  gcdcl  16539  nn0seqcvgd  16603  algcvg  16609  eucalg  16620  lcmcl  16634  lcmfval  16654  lcmfcl  16661  pclem  16871  pcfac  16932  vdwap0  17009  vdwap1  17010  vdwlem6  17019  hashbc0  17038  0ram  17053  0ramcl  17056  ramz2  17057  ramz  17058  ramcl  17062  prmo0  17069  dec5dvds2  17098  2exp11  17123  2exp16  17124  11prm  17148  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  1259lem1  17164  1259lem2  17165  1259lem3  17166  1259lem4  17167  1259lem5  17168  2503lem1  17170  2503lem2  17171  2503lem3  17172  2503prm  17173  4001lem1  17174  4001lem2  17175  4001lem3  17176  4001lem4  17177  4001prm  17178  plendxnocndx  17429  slotsdifdsndx  17439  slotsdifunifndx  17446  odrngstr  17448  slotsdifplendx2  17462  imasvalstr  17497  ipostr  18586  gsumws1  18863  cycsubm  19232  psgnunilem2  19527  psgnunilem3  19528  odfval  19564  oddvdsnn0  19576  pgp0  19628  sylow1lem1  19630  cyggex2  19929  telgsums  20025  srgbinomlem3  20245  srgbinomlem4  20246  srgbinom  20248  cnfldstr  21383  cnfldstrOLD  21398  cnfldfunALTOLDOLD  21410  nn0subm  21457  expmhm  21471  nn0srg  21472  znf1o  21587  zzngim  21588  cygznlem1  21602  cygznlem2a  21603  cygznlem3  21605  cygth  21607  freshmansdream  21610  thlleOLD  21734  snifpsrbag  21957  fczpsrbag  21958  psrbagaddcl  21961  psrlidm  21999  mvrf1  22023  mplcoe3  22073  mplcoe5  22075  ltbwe  22079  psrbag0  22103  psrbagsn  22104  evlslem1  22123  mhpsclcl  22168  mhpmulcl  22170  psdmul  22187  00ply1bas  22256  ply1plusgfvi  22258  coe1sclmul  22300  coe1sclmul2  22302  coe1scl  22305  ply1sclid  22306  ply1idvr1OLD  22314  cply1coe0bi  22321  ply1scleq  22324  cpm2mf  22773  m2cpminvid2lem  22775  m2cpminvid2  22776  m2cpmfo  22777  decpmatid  22791  pmatcollpw3  22805  pmatcollpw3fi1lem1  22807  pmatcollpwscmatlem1  22810  pmatcollpwscmatlem2  22811  idpm2idmp  22822  chfacfscmulgsum  22881  chfacfpmmulgsum  22885  cpmadugsumlemF  22897  dscmet  24600  ehl0base  25463  ehl0  25464  itgcnlem  25839  dvn0  25974  dvn1  25976  cpncn  25986  dveflem  26031  c1lip2  26051  deg1le0  26164  ply1divex  26190  mon1pid  26207  ply1rem  26219  fta1g  26223  plyconst  26259  plypf1  26265  plyco  26294  0dgr  26298  0dgrb  26299  coefv0  26301  dgreq0  26319  vieta1lem2  26367  vieta1  26368  aareccl  26382  aannenlem2  26385  taylthlem1  26429  radcnv0  26473  abelthlem6  26494  abelthlem9  26498  logtayl  26716  cxp0  26726  cxpeq  26814  leibpilem2  26998  leibpi  26999  log2ublem3  27005  log2ub  27006  log2le1  27007  divsqrtsumlem  27037  dmgmn0  27083  lgambdd  27094  sqff1o  27239  ppiublem2  27261  chtublem  27269  bclbnd  27338  bposlem8  27349  lgsval  27359  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0flb  27568  ostth2lem2  27692  usgrexmplef  29290  usgr0edg0rusgr  29607  usgr2pthlem  29795  wwlksn0s  29890  rusgrnumwwlkb0  30000  erclwwlkref  30048  clwwlkf1  30077  0wlkonlem1  30146  upgr4cycl4dv4e  30213  1kp2ke3k  30474  ex-fac  30479  ex-prmo  30487  nn0min  32826  dpmul1000  32865  dp0h  32868  dpexpp1  32874  dpmul4  32880  threehalves  32881  1mhdrd  32882  s1f1  32911  s2f1  32913  cshw1s2  32929  cycpm2tr  33121  deg1le0eq0  33577  ply1unit  33579  evl1deg1  33580  evl1deg2  33581  evl1deg3  33582  ply1dg1rt  33583  m1pmeq  33587  minplyirredlem  33717  rtelextdg2lem  33731  fldext2chn  33733  2sqr3minply  33752  lmatcl  33776  lmat22e12  33779  lmat22e21  33780  fsumcvg4  33910  oddpwdc  34335  eulerpartlems  34341  eulerpartlemb  34349  eulerpartlemt  34352  eulerpartgbij  34353  eulerpartlemmf  34356  eulerpartlemgf  34360  eulerpartlemgs2  34361  eulerpartlemn  34362  fib0  34380  fib1  34381  fibp1  34382  ofcs1  34537  signsply0  34544  signsvvf  34572  prodfzo03  34596  repr0  34604  breprexp  34626  hgt750lemd  34641  hgt750lem  34644  hgt750lem2  34645  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  0nn0m1nnn0  35096  f1resfz0f1d  35097  usgrgt2cycl  35114  subfac0  35161  subfacval2  35171  subfaclim  35172  cvmliftlem7  35275  cvmliftlem13  35280  bccolsum  35718  fwddifn0  36145  heiborlem4  37800  heiborlem10  37806  12gcd5e1  41984  60gcd6e6  41985  60gcd7e1  41986  420gcd8e4  41987  12lcm5e60  41989  60lcm7e420  41991  420lcm8e840  41992  lcmineqlem  42033  3exp7  42034  3lexlogpow5ineq1  42035  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1  42057  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  sticksstones11  42137  sticksstones22  42149  aks6d1c7lem1  42161  sqn5i  42298  decpmul  42301  sqdeccom12  42302  sq3deccom12  42303  235t711  42317  ex-decpmul  42318  mhphflem  42582  0prjspn  42614  sum9cubes  42658  nacsfix  42699  diophrw  42746  pell1qr1  42858  monotoddzzfi  42930  jm2.23  42984  hbtlem5  43116  mncn0  43127  aaitgo  43150  brfvrcld  43680  corclrcl  43696  dfrtrcl3  43722  fvrtrcllb0d  43724  fvrtrcllb0da  43725  corcltrcl  43728  cotrclrcl  43731  k0004val0  44143  bccn0  44338  bccn1  44339  binomcxplemradcnv  44347  binomcxplemnotnn0  44351  rexanuz2nf  45442  dvnmul  45898  dvnprodlem3  45903  wallispilem2  46021  wallispi2lem2  46027  stirlinglem5  46033  stirlinglem7  46035  fourierdlem83  46144  fourierdlem112  46173  fouriersw  46186  elaa2lem  46188  elaa2  46189  etransclem48  46237  etransc  46238  iccelpart  47357  fmtno0  47464  fmtnorec2  47467  fmtno5lem1  47477  fmtno5lem2  47478  fmtno5lem4  47480  257prm  47485  fmtnofac2  47493  fmtnofac1  47494  fmtno4prmfac  47496  fmtno4nprmfac193  47498  fmtno5faclem1  47503  fmtno5faclem2  47504  fmtno5faclem3  47505  fmtno5fac  47506  fmtno5nprm  47507  139prmALT  47520  31prm  47521  127prm  47523  m11nprm  47525  bits0ALTV  47603  2exp340mod341  47657  nfermltl2rev  47667  evengpoap3  47723  tgoldbachlt  47740  tgoldbach  47741  stgr0  47862  usgrexmpl1lem  47915  usgrexmpl2lem  47920  nn0mnd  48022  ssnn0ssfz  48193  dig1  48457  0dig2nn0e  48461  0dig2nn0o  48462  0aryfvalel  48483  itcoval0  48511  itcoval1  48512  ackval0  48529  ackval1  48530  ackvalsuc0val  48536  ackval0012  48538  ackval1012  48539  ackval2012  48540  ackval3012  48541  ackval41a  48543  prstclevalOLD  48869