Theorem ofcs2 35056

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofcs2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

Proof of Theorem ofcs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14919	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2	1	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f/c 𝑅𝐶)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	3	s1cld 14670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	5	s1cld 14670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐶 ∈ 𝑇)
8	4, 6, 7	ofcccat 35054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f/c 𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶)))
9	2, 8	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶)))
10		ofcs1 35055	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
11	3, 7, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
12		ofcs1 35055	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
13	5, 7, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
14	11, 13	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩))
15		df-s2 14919	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
16	14, 15	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
17	9, 16	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f/c 𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413   ++ cconcat 14635  ⟨“cs1 14662  ⟨“cs2 14912   ∘_f/c cofc 34605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-ofc 34606

This theorem is used by: (None)