Theorem ofcs2 30958

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofcs2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

Proof of Theorem ofcs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 13798	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2	1	oveq1i 6802	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)
3		simp1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	3	s1cld 13579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
5		simp2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	5	s1cld 13579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		simp3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐶 ∈ 𝑇)
8	4, 6, 7	ofcccat 30956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)))
9	2, 8	syl5eq 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)))
10		ofcs1 30957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
11	3, 7, 10	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
12		ofcs1 30957	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
13	5, 7, 12	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
14	11, 13	oveq12d 6810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩))
15		df-s2 13798	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
16	14, 15	syl6eqr 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
17	9, 16	eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6792   ++ cconcat 13485  ⟨“cs1 13486  ⟨“cs2 13791  ∘_𝑓/𝑐cofc 30493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-hash 13318  df-word 13491  df-concat 13493  df-s1 13494  df-s2 13798  df-ofc 30494

This theorem is referenced by: (None)