Theorem ofcs2 30969

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofcs2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

Proof of Theorem ofcs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 13836	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2	1	oveq1i 6893	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)
3		simp1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	3	s1cld 13617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
5		simp2 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	5	s1cld 13617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		simp3 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → 𝐶 ∈ 𝑇)
8	4, 6, 7	ofcccat 30967	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)))
9	2, 8	syl5eq 2863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)))
10		ofcs1 30968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
11	3, 7, 10	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
12		ofcs1 30968	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
13	5, 7, 12	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
14	11, 13	oveq12d 6901	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩))
15		df-s2 13836	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
16	14, 15	syl6eqr 2869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → ((⟨“𝐴”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) ++ (⟨“𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)
17	9, 16	eqtrd 2851	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴𝐵”⟩∘𝑓/𝑐𝑅𝐶) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐶)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1100   = wceq 1637   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6883   ++ cconcat 13523  ⟨“cs1 13524  ⟨“cs2 13829  ∘_𝑓/𝑐cofc 30504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-hash 13357  df-word 13529  df-concat 13531  df-s1 13532  df-s2 13836  df-ofc 30505

This theorem is referenced by: (None)