Theorem onfisupcl 43240

Description: Sufficient condition when the supremum of a set of ordinals is the maximum element of that set. See ordunifi 9322. (Contributed by RP, 27-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onfisupcl	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onfisupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
2		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		ordunifi 9322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	6	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ∪ cuni 4905  Oncon0 6382  Fincfn 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-om 7884  df-en 8982  df-fin 8985

This theorem is referenced by: (None)