Theorem onfisupcl 42575

Description: Sufficient condition when the supremum of a set of ordinals is the maximum element of that set. See ordunifi 9295. (Contributed by RP, 27-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onfisupcl	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onfisupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
2		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3jca 1125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		ordunifi 9295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	6	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ∪ cuni 4902  Oncon0 6358  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-en 8942  df-fin 8945

This theorem is referenced by: (None)