Theorem onfisupcl 43702

Description: Sufficient condition when the supremum of a set of ordinals is the maximum element of that set. See ordunifi 9195. (Contributed by RP, 27-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onfisupcl	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onfisupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
2		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		ordunifi 9195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	6	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  Oncon0 6319  Fincfn 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-om 7813  df-en 8889  df-fin 8892

This theorem is referenced by: (None)