Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onfisupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onfisupcl 43240
Description: Sufficient condition when the supremum of a set of ordinals is the maximum element of that set. See ordunifi 9322. (Contributed by RP, 27-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
onfisupcl ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴))

Proof of Theorem onfisupcl
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . 4 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
2 simprl 771 . . . 4 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simprr 773 . . . 4 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
41, 2, 33jca 1129 . . 3 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 ordunifi 9322 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
64, 5syl 17 . 2 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴𝐴)
76ex 412 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2939  wss 3950  c0 4332   cuni 4905  Oncon0 6382  Fincfn 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-om 7884  df-en 8982  df-fin 8985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator