MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunifi 9324
Description: The maximum of a finite collection of ordinals is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ordunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordunifi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 7794 . . . . . 6 E We On
2 weso 5680 . . . . . 6 ( E We On → E Or On)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 E Or On
4 soss 5617 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → ( E Or On → E Or 𝐴))
53, 4mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → E Or 𝐴)
6 fimax2g 9320 . . . 4 (( E Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
75, 6syl3an1 1162 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
8 ssel2 3990 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
98adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
10 ssel2 3990 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12 epel 5592 . . . . . . . . . 10 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
1312notbii 320 . . . . . . . . 9 𝑥 E 𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑦)
14 ontri1 6420 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1513, 14bitr4id 290 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
169, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
1716ralbidva 3174 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
18 unissb 4944 . . . . . 6 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1917, 18bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 𝐴𝑥))
2019rexbidva 3175 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
21203ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
227, 21mpbid 232 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥)
23 elssuni 4942 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
24 eqss 4011 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
25 eleq1 2827 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴 𝐴𝐴))
2625biimpcd 249 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴 𝐴𝐴))
2724, 26biimtrrid 243 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝑥 𝐴 𝐴𝑥) → 𝐴𝐴))
2823, 27mpand 695 . . 3 (𝑥𝐴 → ( 𝐴𝑥 𝐴𝐴))
2928rexlimiv 3146 . 2 (∃𝑥𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝐴)
3022, 29syl 17 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   class class class wbr 5148   E cep 5588   Or wor 5596   We wwe 5640  Oncon0 6386  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  nnunifi  9325  oemapvali  9722  ttukeylem6  10552  limsucncmpi  36428  onfisupcl  43239  onsucunifi  43360
  Copyright terms: Public domain W3C validator