MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunifi 9326
Description: The maximum of a finite collection of ordinals is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ordunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordunifi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 7795 . . . . . 6 E We On
2 weso 5676 . . . . . 6 ( E We On → E Or On)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 E Or On
4 soss 5612 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → ( E Or On → E Or 𝐴))
53, 4mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → E Or 𝐴)
6 fimax2g 9322 . . . 4 (( E Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
75, 6syl3an1 1164 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
8 ssel2 3978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
98adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
10 ssel2 3978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12 epel 5587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
1312notbii 320 . . . . . . . . 9 𝑥 E 𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑦)
14 ontri1 6418 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1513, 14bitr4id 290 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
169, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
1716ralbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
18 unissb 4939 . . . . . 6 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1917, 18bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 𝐴𝑥))
2019rexbidva 3177 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
21203ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
227, 21mpbid 232 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥)
23 elssuni 4937 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
24 eqss 3999 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
25 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴 𝐴𝐴))
2625biimpcd 249 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴 𝐴𝐴))
2724, 26biimtrrid 243 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝑥 𝐴 𝐴𝑥) → 𝐴𝐴))
2823, 27mpand 695 . . 3 (𝑥𝐴 → ( 𝐴𝑥 𝐴𝐴))
2928rexlimiv 3148 . 2 (∃𝑥𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝐴)
3022, 29syl 17 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   class class class wbr 5143   E cep 5583   Or wor 5591   We wwe 5636  Oncon0 6384  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  nnunifi  9327  oemapvali  9724  ttukeylem6  10554  limsucncmpi  36446  onfisupcl  43262  onsucunifi  43383
  Copyright terms: Public domain W3C validator