MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordunifi 8614
Description: The maximum of a finite collection of ordinals is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ordunifi ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordunifi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 7353 . . . . . 6 E We On
2 weso 5434 . . . . . 6 ( E We On → E Or On)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 E Or On
4 soss 5381 . . . . 5 (𝐴 ⊆ On → ( E Or On → E Or 𝐴))
53, 4mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → E Or 𝐴)
6 fimax2g 8610 . . . 4 (( E Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
75, 6syl3an1 1156 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦)
8 ssel2 3884 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
98adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
10 ssel2 3884 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12 ontri1 6100 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
13 epel 5357 . . . . . . . . . 10 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
1413notbii 321 . . . . . . . . 9 𝑥 E 𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑦)
1512, 14syl6rbbr 291 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
169, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥 E 𝑦𝑦𝑥))
1716ralbidva 3163 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
18 unissb 4776 . . . . . 6 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1917, 18syl6bbr 290 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 𝐴𝑥))
2019rexbidva 3259 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
21203ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥))
227, 21mpbid 233 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 𝐴𝑥)
23 elssuni 4774 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
24 eqss 3904 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴 𝐴𝑥))
25 eleq1 2870 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴 𝐴𝐴))
2625biimpcd 250 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴 𝐴𝐴))
2724, 26syl5bir 244 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝑥 𝐴 𝐴𝑥) → 𝐴𝐴))
2823, 27mpand 691 . . 3 (𝑥𝐴 → ( 𝐴𝑥 𝐴𝐴))
2928rexlimiv 3243 . 2 (∃𝑥𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝐴)
3022, 29syl 17 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  c0 4211   cuni 4745   class class class wbr 4962   E cep 5352   Or wor 5361   We wwe 5401  Oncon0 6066  Fincfn 8357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-fin 8361
This theorem is referenced by:  nnunifi  8615  oemapvali  8993  ttukeylem6  9782  limsucncmpi  33403
  Copyright terms: Public domain W3C validator