Theorem onfrALTlem2VD 44921

Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem2 44579. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem2 44579 is onfrALTlem2VD 44921 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem2VD 44921.

1::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   )
2:1:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)   )
3:2:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑎   )
4::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
5::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   )
6:5:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ 𝑎   )
7:4:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
8:6,7:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
9:8:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
10:9:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
11:1:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
12:11:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ 𝑥   )
13:2:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑦   )
14:10,12,13:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑥   )
15:3,14:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
16:13,15:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
17:16:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
18:17:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
19:18:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
20::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
21:20:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
22:19,21:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )
23:20:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
24:23:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ 𝑎   )
25:22,24:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
26:25:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
27:26:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
28:27:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
29::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅   )
30:29:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
31:28,30:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
qed:31:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎(𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onfrALTlem2VD	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑎   𝑥,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem2VD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn3 44648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   )
2		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))
3	1, 2	e3 44769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)   )
4		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦
5	4	sseli 3925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
6	3, 5	e3 44769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑦   )
7		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑎
8	7	sseli 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑎)
9	3, 8	e3 44769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑎   )
10		idn2 44646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   )
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝑎)
12	10, 11	e2 44664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ 𝑎   )
13		idn1 44607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ On)
15	13, 14	e1a 44660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
16		ssel 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ⊆ On → (𝑥 ∈ 𝑎 → 𝑥 ∈ On))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑎 → (𝑎 ⊆ On → 𝑥 ∈ On))
18	12, 15, 17	e21 44762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
19		eloni 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
20	18, 19	e2 44664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
21		ordtr 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
22	20, 21	e2 44664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
23		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
24	1, 23	e3 44769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
25		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
26	25	sseli 3925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
27	24, 26	e3 44769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ 𝑥   )
28		trel 5201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Tr 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
29	28	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
30	22, 27, 6, 29	e233 44797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑥   )
31		elin 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑎 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
32	31	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)))
33	9, 30, 32	e33 44766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
34		elin 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
35	34	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)))
36	6, 33, 35	e33 44766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
37	36	in3an 44644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
38	37	gen31 44654	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
39		df-ss 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)))
40	39	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)) → (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))
41	38, 40	e3 44769	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
42		idn3 44648	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
43		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
44	42, 43	e3 44769	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
45		sseq0 4348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)
46	45	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) → (((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))
47	41, 44, 46	e33 44766	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )
48		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
49	42, 48	e3 44769	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
50		inss1 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑎
51	50	sseli 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑎)
52	49, 51	e3 44769	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ 𝑎   )
53		pm3.21 471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑦 ∈ 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
54	47, 52, 53	e33 44766	. . . . . 6 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
55	54	in3 44642	. . . . 5 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
56	55	gen21 44652	. . . 4 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
57		exim 1835	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
58	56, 57	e2 44664	. . 3 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
59		onfrALTlem3VD 44919	. . . 4 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
60		df-rex 3057	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
61	60	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
62	59, 61	e2 44664	. . 3 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
63		id 22	. . 3 ⊢ ((∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
64	58, 62, 63	e22 44704	. 2 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
65		df-rex 3057	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))
66	65	biimpri 228	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)
67	64, 66	e2 44664	1 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  Tr wtr 5193  Ord word 6300  Oncon0 6301  (   wvd2 44610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-ord 6304  df-on 6305  df-vd1 44603  df-vd2 44611  df-vd3 44623

This theorem is referenced by:  onfrALTVD  44923