Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onfrALTlem2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onfrALTlem2VD 44886
Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem2 44543. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem2 44543 is onfrALTlem2VD 44886 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem2VD 44886.
1:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   )
2:1: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑦)   )
3:2: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑎   )
4:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
5:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   )
6:5: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥𝑎   )
7:4: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 On   )
8:6,7: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
9:8: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
10:9: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
11:1: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
12:11: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦𝑥   )
13:2: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑦   )
14:10,12,13: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑥   )
15:3,14: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑥)   )
16:13,15: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
17:16: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
18:17: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
19:18: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
20:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
21:20: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
22:19,21: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) = ∅   )
23:20: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
24:23: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦𝑎   )
25:22,24: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
26:25: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
27:26: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
28:27: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
29:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅   )
30:29: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) 𝑦) = ∅)   )
31:28,30: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
qed:31: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎(𝑎𝑦) = ∅   )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
onfrALTlem2VD (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅   )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑎   𝑥,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem2VD
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn3 44612 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   )
2 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))
31, 2e3 44734 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑦)   )
4 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑦) ⊆ 𝑦
54sseli 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧𝑦)
63, 5e3 44734 . . . . . . . . . . . 12 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑦   )
7 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑦) ⊆ 𝑎
87sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧𝑎)
93, 8e3 44734 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑎   )
10 idn2 44610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   )
11 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅) → 𝑥𝑎)
1210, 11e2 44628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥𝑎   )
13 idn1 44571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ On)
1513, 14e1a 44624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
16 ssel 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ⊆ On → (𝑥𝑎𝑥 ∈ On))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑎 → (𝑎 ⊆ On → 𝑥 ∈ On))
1812, 15, 17e21 44727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
19 eloni 6395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
2018, 19e2 44628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
21 ordtr 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
2220, 21e2 44628 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
23 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑎𝑥))
241, 23e3 44734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
25 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑥) ⊆ 𝑥
2625sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑦𝑥)
2724, 26e3 44734 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦𝑥   )
28 trel 5273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Tr 𝑥 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2928expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥 → (𝑧𝑦𝑧𝑥)))
3022, 27, 6, 29e233 44762 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑥   )
31 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) ↔ (𝑧𝑎𝑧𝑥))
3231simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝑎𝑥)))
339, 30, 32e33 44731 . . . . . . . . . . . 12 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑥)   )
34 elin 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) ∧ 𝑧𝑦))
3534simplbi2com 502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)))
366, 33, 35e33 44731 . . . . . . . . . . 11 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
3736in3an 44608 . . . . . . . . . 10 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
3837gen31 44618 . . . . . . . . 9 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
39 df-ss 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)))
4039biimpri 228 . . . . . . . . 9 (∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)) → (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))
4138, 40e3 44734 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
42 idn3 44612 . . . . . . . . 9 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
43 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
4442, 43e3 44734 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
45 sseq0 4408 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑎𝑦) = ∅)
4645ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) → (((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑎𝑦) = ∅))
4741, 44, 46e33 44731 . . . . . . 7 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) = ∅   )
48 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (𝑎𝑥))
4942, 48e3 44734 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
50 inss1 4244 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑥) ⊆ 𝑎
5150sseli 3990 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑦𝑎)
5249, 51e3 44734 . . . . . . 7 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦𝑎   )
53 pm3.21 471 . . . . . . 7 ((𝑎𝑦) = ∅ → (𝑦𝑎 → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
5447, 52, 53e33 44731 . . . . . 6 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
5554in3 44606 . . . . 5 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
5655gen21 44616 . . . 4 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
57 exim 1830 . . . 4 (∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
5856, 57e2 44628 . . 3 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
59 onfrALTlem3VD 44884 . . . 4 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
60 df-rex 3068 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
6160biimpi 216 . . . 4 (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
6259, 61e2 44628 . . 3 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
63 id 22 . . 3 ((∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
6458, 62, 63e22 44668 . 2 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
65 df-rex 3068 . . 3 (∃𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))
6665biimpri 228 . 2 (∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅) → ∃𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅)
6764, 66e2 44628 1 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅   )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  c0 4338  Tr wtr 5264  Ord word 6384  Oncon0 6385  (   wvd2 44574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388  df-on 6389  df-vd1 44567  df-vd2 44575  df-vd3 44587
This theorem is referenced by:  onfrALTVD  44888
  Copyright terms: Public domain W3C validator