Theorem onfrALTlem2VD 45241

Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem2 44899. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem2 44899 is onfrALTlem2VD 45241 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem2VD 45241.

1::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   )
2:1:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)   )
3:2:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑎   )
4::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
5::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   )
6:5:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ 𝑎   )
7:4:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
8:6,7:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
9:8:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
10:9:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
11:1:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
12:11:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ 𝑥   )
13:2:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑦   )
14:10,12,13:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑥   )
15:3,14:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
16:13,15:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
17:16:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
18:17:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
19:18:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
20::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
21:20:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
22:19,21:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )
23:20:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
24:23:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ 𝑎   )
25:22,24:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
26:25:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
27:26:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
28:27:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
29::	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅   )
30:29:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
31:28,30:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
qed:31:	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎(𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onfrALTlem2VD	⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑎   𝑥,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem2VD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn3 44968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   )
2		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))
3	1, 2	e3 45089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)   )
4		inss2 4192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦
5	4	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
6	3, 5	e3 45089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑦   )
7		inss1 4191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑎
8	7	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑎)
9	3, 8	e3 45089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑎   )
10		idn2 44966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   )
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝑎)
12	10, 11	e2 44984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ 𝑎   )
13		idn1 44927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ On)
15	13, 14	e1a 44980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
16		ssel 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ⊆ On → (𝑥 ∈ 𝑎 → 𝑥 ∈ On))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑎 → (𝑎 ⊆ On → 𝑥 ∈ On))
18	12, 15, 17	e21 45082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
19		eloni 6335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
20	18, 19	e2 44984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
21		ordtr 6339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
22	20, 21	e2 44984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
23		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
24	1, 23	e3 45089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
25		inss2 4192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
26	25	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
27	24, 26	e3 45089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑦 ∈ 𝑥   )
28		trel 5215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Tr 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
29	28	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
30	22, 27, 6, 29	e233 45117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ 𝑥   )
31		elin 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑎 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
32	31	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)))
33	9, 30, 32	e33 45086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
34		elin 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
35	34	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)))
36	6, 33, 35	e33 45086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
37	36	in3an 44964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
38	37	gen31 44974	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))   )
39		df-ss 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)))
40	39	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎 ∩ 𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)) → (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦))
41	38, 40	e3 45089	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)   )
42		idn3 44968	. . . . . . . . 9 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
43		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
44	42, 43	e3 45089	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
45		sseq0 4357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)
46	45	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) ⊆ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) → (((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))
47	41, 44, 46	e33 45086	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )
48		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
49	42, 48	e3 45089	. . . . . . . 8 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)   )
50		inss1 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑎
51	50	sseli 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑎)
52	49, 51	e3 45089	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ 𝑎   )
53		pm3.21 471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑦 ∈ 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
54	47, 52, 53	e33 45086	. . . . . 6 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
55	54	in3 44962	. . . . 5 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
56	55	gen21 44972	. . . 4 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
57		exim 1836	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
58	56, 57	e2 44984	. . 3 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))   )
59		onfrALTlem3VD 45239	. . . 4 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
60		df-rex 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
61	60	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
62	59, 61	e2 44984	. . 3 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
63		id 22	. . 3 ⊢ ((∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)))
64	58, 62, 63	e22 45024	. 2 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)   )
65		df-rex 3063	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅))
66	65	biimpri 228	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑎 ∧ (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅)
67	64, 66	e2 44984	1 ⊢ (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 ∈ 𝑎 ∧ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)   ▶   ∃𝑦 ∈ 𝑎 (𝑎 ∩ 𝑦) = ∅   )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  Tr wtr 5207  Ord word 6324  Oncon0 6325  (   wvd2 44930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-vd1 44923  df-vd2 44931  df-vd3 44943

This theorem is referenced by:  onfrALTVD  45243