MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnssneib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnssneib 23110
Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnssneib ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → 𝑁𝑋)
2 sseq2 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑆𝑔𝑆𝑆))
3 sseq1 4005 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑔𝑁𝑆𝑁))
42, 3anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁)))
5 ssid 4002 . . . . . . . . . 10 𝑆𝑆
65biantrur 529 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑁 ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁))
74, 6bitr4di 288 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ 𝑆𝑁))
87rspcev 3608 . . . . . . 7 ((𝑆𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
98adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
101, 9jca 510 . . . . 5 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
1110ex 411 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
12113adant1 1127 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
13 neips.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
1413eltopss 22900 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
1513isnei 23098 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1614, 15syldan 589 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
17163adant3 1129 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1812, 17sylibrd 258 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19 ssnei 23105 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
2019ex 411 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
21203ad2ant1 1130 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
2218, 21impbid 211 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wss 3947   cuni 4913  cfv 6554  Topctop 22886  neicnei 23092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-top 22887  df-nei 23093
This theorem is referenced by:  neissex  23122
  Copyright terms: Public domain W3C validator