Theorem opnssneib 23144

Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnssneib	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
2		sseq2 4035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑆))
3		sseq1 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
4	2, 3	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
5		ssid 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
6	5	biantrur 530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁))
7	4, 6	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
8	7	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	8	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	1, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13		neips.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14	13	eltopss 22934	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
15	13	isnei 23132	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
16	14, 15	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
18	12, 17	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19		ssnei 23139	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
21	20	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
22	18, 21	impbid 212	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  neicnei 23126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-nei 23127

This theorem is referenced by:  neissex  23156