MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnssneib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnssneib 22012
Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnssneib ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → 𝑁𝑋)
2 sseq2 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑆𝑔𝑆𝑆))
3 sseq1 3926 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑔𝑁𝑆𝑁))
42, 3anbi12d 634 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁)))
5 ssid 3923 . . . . . . . . . 10 𝑆𝑆
65biantrur 534 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑁 ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁))
74, 6bitr4di 292 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ 𝑆𝑁))
87rspcev 3537 . . . . . . 7 ((𝑆𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
98adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
101, 9jca 515 . . . . 5 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
1110ex 416 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
12113adant1 1132 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
13 neips.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
1413eltopss 21804 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
1513isnei 22000 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1614, 15syldan 594 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
17163adant3 1134 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1812, 17sylibrd 262 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19 ssnei 22007 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
2019ex 416 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
21203ad2ant1 1135 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
2218, 21impbid 215 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866   cuni 4819  cfv 6380  Topctop 21790  neicnei 21994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-top 21791  df-nei 21995
This theorem is referenced by:  neissex  22024
  Copyright terms: Public domain W3C validator