Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem2 38356
Description: Lemma for pmod1i 38357. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pmodlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmodlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
pmodlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
21oveq1d 7373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (βˆ… + π‘Œ))
3 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1253 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6padd02 38321 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
83, 4, 7syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
92, 8eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = π‘Œ)
109ineq1d 4172 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) = (π‘Œ ∩ 𝑍))
11 ssinss1 4198 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† 𝐴 β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
13 simpl21 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
145, 6sspadd2 38325 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
1610, 15eqsstrd 3983 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
17 oveq2 7366 . . . . 5 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋 + βˆ…))
18 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1207 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
205, 6padd01 38320 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = 𝑋)
2322ineq1d 4172 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) = (𝑋 ∩ 𝑍))
24 inss1 4189 . . . 4 (𝑋 ∩ 𝑍) βŠ† 𝑋
25 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
27 simpl22 1253 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
295, 6sspadd1 38324 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3124, 30sstrid 3956 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (𝑋 ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3223, 31eqsstrd 3983 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
33 elin 3927 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍))
34 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3534hllatd 37872 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
36 simpl21 1252 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
37 simpl22 1253 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
38 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…))
39 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
40 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4139, 40, 5, 6elpaddn0 38309 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
4235, 36, 37, 38, 41syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
43 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
44 simpl21 1252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
45 simpl22 1253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
46 simpl23 1254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
47 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
48 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑍)
49 simpr2l 1233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
50 simpr2r 1234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
51 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
52 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
5339, 40, 5, 52, 6pmodlem1 38355 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
5443, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53syl333anc 1403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
55543exp2 1355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
5655imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))))
5756rexlimdvv 3201 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
5857adantld 492 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
5958adantrl 715 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6042, 59sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6160exp32 422 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
6261com34 91 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
6362imp4b 423 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6433, 63biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6564ssrdv 3951 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
6616, 32, 65pm2.61da2ne 3030 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  PSubSpcpsubsp 38005  +𝑃cpadd 38304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-psubsp 38012  df-padd 38305
This theorem is referenced by:  pmod1i  38357
  Copyright terms: Public domain W3C validator