Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmodlem2 39231
Description: Lemma for pmod1i 39232. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pmodlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmodlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
pmodlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
21oveq1d 7420 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (βˆ… + π‘Œ))
3 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1249 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6padd02 39196 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
83, 4, 7syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
92, 8eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = π‘Œ)
109ineq1d 4206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) = (π‘Œ ∩ 𝑍))
11 ssinss1 4232 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† 𝐴 β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
13 simpl21 1248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
145, 6sspadd2 39200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
1610, 15eqsstrd 4015 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
17 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋 + βˆ…))
18 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1203 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
205, 6padd01 39195 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2788 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = 𝑋)
2322ineq1d 4206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) = (𝑋 ∩ 𝑍))
24 inss1 4223 . . . 4 (𝑋 ∩ 𝑍) βŠ† 𝑋
25 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
27 simpl22 1249 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
295, 6sspadd1 39199 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3124, 30sstrid 3988 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (𝑋 ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
3223, 31eqsstrd 4015 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
33 elin 3959 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍))
34 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3534hllatd 38747 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
36 simpl21 1248 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
37 simpl22 1249 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
38 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…))
39 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
40 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4139, 40, 5, 6elpaddn0 39184 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
4235, 36, 37, 38, 41syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
43 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
44 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
45 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
46 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
47 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
48 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑍)
49 simpr2l 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
50 simpr2r 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
51 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
52 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
5339, 40, 5, 52, 6pmodlem1 39230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
5443, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53syl333anc 1399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝑍 ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
55543exp2 1351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
5655imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))))
5756rexlimdvv 3204 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
5857adantld 490 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
5958adantrl 713 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6042, 59sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6160exp32 420 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
6261com34 91 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝑍 β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))))
6362imp4b 421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6433, 63biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍))))
6564ssrdv 3983 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
6616, 32, 65pm2.61da2ne 3024 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∩ 𝑍) βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  PSubSpcpsubsp 38880  +𝑃cpadd 39179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  pmod1i  39232
  Copyright terms: Public domain W3C validator