Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem2 39830
Description: Lemma for pmod1i 39831. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))

Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
21oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
3 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1251 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd02 39795 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
92, 8eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
109ineq1d 4227 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑌𝑍))
11 ssinss1 4254 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
13 simpl21 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝐴)
145, 6sspadd2 39799 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
1610, 15eqsstrd 4034 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
17 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + ∅))
18 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1205 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
205, 6padd01 39794 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
2322ineq1d 4227 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋𝑍))
24 inss1 4245 . . . 4 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
25 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋𝐴)
27 simpl22 1251 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
295, 6sspadd1 39798 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3124, 30sstrid 4007 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3223, 31eqsstrd 4034 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
33 elin 3979 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
34 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3534hllatd 39346 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
36 simpl21 1250 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑋𝐴)
37 simpl22 1251 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑌𝐴)
38 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
39 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
40 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
4139, 40, 5, 6elpaddn0 39783 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
4235, 36, 37, 38, 41syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
43 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
44 simpl21 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝐴)
45 simpl22 1251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑌𝐴)
46 simpl23 1252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑍𝑆)
47 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝑍)
48 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝𝑍)
49 simpr2l 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑞𝑋)
50 simpr2r 1232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑟𝑌)
51 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
52 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5339, 40, 5, 52, 6pmodlem1 39829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
5443, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53syl333anc 1401 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
55543exp2 1353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑝𝑍 → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
5655imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))))
5756rexlimdvv 3210 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
5857adantld 490 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
5958adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6042, 59sylbid 240 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6160exp32 420 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝𝑍 → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6261com34 91 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑝𝑍𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6362imp4b 421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6433, 63biimtrid 242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6564ssrdv 4001 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6616, 32, 65pm2.61da2ne 3028 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  PSubSpcpsubsp 39479  +𝑃cpadd 39778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-padd 39779
This theorem is referenced by:  pmod1i  39831
  Copyright terms: Public domain W3C validator