Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem17 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem17 38576
Description: Lemma for paddass 38578. The case when at least one sum argument is empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddass.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem17
StepHypRef Expression
1 ianor 980 . . . 4 (Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ↔ (Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∨ Β¬ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)))
2 ianor 980 . . . . . 6 (Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ↔ (Β¬ 𝑋 β‰  βˆ… ∨ Β¬ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…))
3 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑋 β‰  βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…)
4 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ… ↔ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…)
53, 4orbi12i 913 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑋 β‰  βˆ… ∨ Β¬ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ↔ (𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…))
62, 5bitri 274 . . . . 5 (Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ↔ (𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…))
7 ianor 980 . . . . . 6 (Β¬ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…) ↔ (Β¬ π‘Œ β‰  βˆ… ∨ Β¬ 𝑍 β‰  βˆ…))
8 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Œ β‰  βˆ… ↔ π‘Œ = βˆ…)
9 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑍 β‰  βˆ… ↔ 𝑍 = βˆ…)
108, 9orbi12i 913 . . . . . 6 ((Β¬ π‘Œ β‰  βˆ… ∨ Β¬ 𝑍 β‰  βˆ…) ↔ (π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…))
117, 10bitri 274 . . . . 5 (Β¬ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…) ↔ (π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…))
126, 11orbi12i 913 . . . 4 ((Β¬ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∨ Β¬ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ↔ ((𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…) ∨ (π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…)))
131, 12bitri 274 . . 3 (Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ↔ ((𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…) ∨ (π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…)))
14 paddass.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
15 paddass.p . . . . . . . . . . 11 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
1614, 15paddssat 38554 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
17163adant3r1 1182 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
1814, 15padd02 38552 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + (π‘Œ + 𝑍)) = (π‘Œ + 𝑍))
1917, 18syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆ… + (π‘Œ + 𝑍)) = (π‘Œ + 𝑍))
2014, 15padd02 38552 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
21203ad2antr2 1189 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆ… + π‘Œ) = π‘Œ)
2221oveq1d 7409 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((βˆ… + π‘Œ) + 𝑍) = (π‘Œ + 𝑍))
2319, 22eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆ… + (π‘Œ + 𝑍)) = ((βˆ… + π‘Œ) + 𝑍))
24 oveq1 7401 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = (βˆ… + (π‘Œ + 𝑍)))
25 oveq1 7401 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (βˆ… + π‘Œ))
2625oveq1d 7409 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) = ((βˆ… + π‘Œ) + 𝑍))
2724, 26eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ ((𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ↔ (βˆ… + (π‘Œ + 𝑍)) = ((βˆ… + π‘Œ) + 𝑍)))
2823, 27syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
29 eqimss 4037 . . . . . 6 ((𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
3028, 29syl6 35 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3114, 15padd01 38551 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
32313ad2antr1 1188 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + βˆ…) = 𝑋)
3314, 15sspadd1 38555 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
34333adant3r3 1184 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
35 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3614, 15paddssat 38554 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
37363adant3r3 1184 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
38 simpr3 1196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
3914, 15sspadd1 38555 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
4035, 37, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
4134, 40sstrd 3989 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑋 βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
4232, 41eqsstrd 4017 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + βˆ…) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
43 oveq2 7402 . . . . . . 7 ((π‘Œ + 𝑍) = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑋 + βˆ…))
4443sseq1d 4010 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = βˆ… β†’ ((𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ↔ (𝑋 + βˆ…) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
4542, 44syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((π‘Œ + 𝑍) = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
4630, 45jaod 857 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
4714, 15padd02 38552 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + 𝑍) = 𝑍)
48473ad2antr3 1190 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆ… + 𝑍) = 𝑍)
4948oveq2d 7410 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (βˆ… + 𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
5032oveq1d 7409 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + βˆ…) + 𝑍) = (𝑋 + 𝑍))
5149, 50eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (βˆ… + 𝑍)) = ((𝑋 + βˆ…) + 𝑍))
52 oveq1 7401 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = βˆ… β†’ (π‘Œ + 𝑍) = (βˆ… + 𝑍))
5352oveq2d 7410 . . . . . . . 8 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑋 + (βˆ… + 𝑍)))
54 oveq2 7402 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋 + βˆ…))
5554oveq1d 7409 . . . . . . . 8 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) = ((𝑋 + βˆ…) + 𝑍))
5653, 55eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ↔ (𝑋 + (βˆ… + 𝑍)) = ((𝑋 + βˆ…) + 𝑍)))
5751, 56syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
5814, 15padd01 38551 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + βˆ…) = π‘Œ)
59583ad2antr2 1189 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ + βˆ…) = π‘Œ)
6059oveq2d 7410 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + βˆ…)) = (𝑋 + π‘Œ))
6114, 15padd01 38551 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + βˆ…) = (𝑋 + π‘Œ))
6237, 61syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + βˆ…) = (𝑋 + π‘Œ))
6360, 62eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + βˆ…)) = ((𝑋 + π‘Œ) + βˆ…))
64 oveq2 7402 . . . . . . . . 9 (𝑍 = βˆ… β†’ (π‘Œ + 𝑍) = (π‘Œ + βˆ…))
6564oveq2d 7410 . . . . . . . 8 (𝑍 = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑋 + (π‘Œ + βˆ…)))
66 oveq2 7402 . . . . . . . 8 (𝑍 = βˆ… β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ) + βˆ…))
6765, 66eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑍 = βˆ… β†’ ((𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ↔ (𝑋 + (π‘Œ + βˆ…)) = ((𝑋 + π‘Œ) + βˆ…)))
6863, 67syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑍 = βˆ… β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
6957, 68jaod 857 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
7069, 29syl6 35 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
7146, 70jaod 857 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (((𝑋 = βˆ… ∨ (π‘Œ + 𝑍) = βˆ…) ∨ (π‘Œ = βˆ… ∨ 𝑍 = βˆ…)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
7213, 71biimtrid 241 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
73723impia 1117 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4319  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7394  Atomscatm 38002  HLchlt 38089  +𝑃cpadd 38535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-padd 38536
This theorem is referenced by:  paddasslem18  38577
  Copyright terms: Public domain W3C validator