Theorem perfi 23500

Description: Property of a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
perfi	⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Proof of Theorem perfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf3 23498	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
3	2	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
4		sneq 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → {𝑥} = {𝑃})
5	4	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ({𝑥} ∈ 𝐽 ↔ {𝑃} ∈ 𝐽))
6	5	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ {𝑃} ∈ 𝐽))
7	6	rspccva 3579	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)
8	3, 7	sylan 592	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {csn 4588  ∪ cuni 4870  Topctop 23238  Perfcperf 23480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-top 23239  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-lp 23481  df-perf 23482

This theorem is used by:  perfopn  23530