Theorem perfi 23070

Description: Property of a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
perfi	⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Proof of Theorem perfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf3 23068	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
3	2	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
4		sneq 4583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → {𝑥} = {𝑃})
5	4	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ({𝑥} ∈ 𝐽 ↔ {𝑃} ∈ 𝐽))
6	5	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ {𝑃} ∈ 𝐽))
7	6	rspccva 3571	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)
8	3, 7	sylan 580	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {csn 4573  ∪ cuni 4856  Topctop 22808  Perfcperf 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22809  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-lp 23051  df-perf 23052

This theorem is referenced by:  perfopn  23100