Theorem perfi 23184

Description: Property of a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
perfi	⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Proof of Theorem perfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf3 23182	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
3	2	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
4		sneq 4658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → {𝑥} = {𝑃})
5	4	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ({𝑥} ∈ 𝐽 ↔ {𝑃} ∈ 𝐽))
6	5	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ {𝑃} ∈ 𝐽))
7	6	rspccva 3634	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)
8	3, 7	sylan 579	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {csn 4648  ∪ cuni 4931  Topctop 22920  Perfcperf 23164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-lp 23165  df-perf 23166

This theorem is referenced by:  perfopn  23214