Theorem perfi 23323

Description: Property of a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
perfi	⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

Proof of Theorem perfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf3 23321	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
3	2	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
4		sneq 4598	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → {𝑥} = {𝑃})
5	4	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ({𝑥} ∈ 𝐽 ↔ {𝑃} ∈ 𝐽))
6	5	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ {𝑃} ∈ 𝐽))
7	6	rspccva 3579	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)
8	3, 7	sylan 591	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑃} ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {csn 4588  ∪ cuni 4871  Topctop 23061  Perfcperf 23303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23062  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-lp 23304  df-perf 23305

This theorem is used by:  perfopn  23353