Theorem isperf3 23291

Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isperf3	⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isperf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf2 23290	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋)))
3		dfss3 3927	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋))
4	1	maxlp 23285	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)))
5	4	baibd 548	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
6	5	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
7	3, 6	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
8	7	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
9	2, 8	bitri 278	1 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  Topctop 23031  limPtclp 23272  Perfcperf 23273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-top 23032  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-lp 23274  df-perf 23275

This theorem is referenced by:  perfi  23293  perfopn  23323  t1connperf  23574