Theorem isperf3 23066

Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isperf3	⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isperf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	isperf2 23065	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋)))
3		dfss3 3923	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋))
4	1	maxlp 23060	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)))
5	4	baibd 539	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
6	5	ralbidva 3153	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
7	3, 6	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
8	7	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑋)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
9	2, 8	bitri 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ∪ cuni 4859  ‘cfv 6481  Topctop 22806  limPtclp 23047  Perfcperf 23048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22807  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-lp 23049  df-perf 23050

This theorem is referenced by:  perfi  23068  perfopn  23098  t1connperf  23349