MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfopn 21509
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
2 perftop 21480 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 473 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54toptopon 21241 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63, 5sylib 210 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elssuni 4737 . . . . . . 7 (𝑌𝐽𝑌 𝐽)
87adantl 474 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 𝐽)
98, 4syl6sseqr 3902 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌𝑋)
10 resttopon 21485 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
116, 9, 10syl2anc 576 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
121, 11syl5eqel 2864 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 21237 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3852 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
164perfi 21479 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1716adantlr 702 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 582 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2851 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌))
20 restopn2 21501 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
212, 20sylan 572 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
2221adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23 simpl 475 . . . . . . 7 (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 245 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
2519, 24syl5bi 234 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 190 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3126 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28 toponuni 21238 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 = 𝐾)
3029raleqdv 3349 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 224 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
32 eqid 2772 . . 3 𝐾 = 𝐾
3332isperf3 21477 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 575 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  wss 3823  {csn 4435   cuni 4708  cfv 6185  (class class class)co 6974  t crest 16548  Topctop 21217  TopOnctopon 21234  Perfcperf 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-fin 8308  df-fi 8668  df-rest 16550  df-topgen 16571  df-top 21218  df-topon 21235  df-bases 21270  df-cld 21343  df-ntr 21344  df-cls 21345  df-lp 21460  df-perf 21461
This theorem is referenced by:  perfdvf  24216
  Copyright terms: Public domain W3C validator