Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfopn 21790
 Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
2 perftop 21761 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54toptopon 21522 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63, 5sylib 221 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elssuni 4830 . . . . . . 7 (𝑌𝐽𝑌 𝐽)
87adantl 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 𝐽)
98, 4sseqtrrdi 3966 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌𝑋)
10 resttopon 21766 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
116, 9, 10syl2anc 587 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
121, 11eqeltrid 2894 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 21518 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3915 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
164perfi 21760 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1716adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 594 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2881 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌))
20 restopn2 21782 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
212, 20sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
2221adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23 simpl 486 . . . . . . 7 (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 256 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
2519, 24syl5bi 245 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 201 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3149 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28 toponuni 21519 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 = 𝐾)
3029raleqdv 3364 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 235 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
32 eqid 2798 . . 3 𝐾 = 𝐾
3332isperf3 21758 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 586 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾t crest 16686  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  Perfcperf 21740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fi 8859  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-lp 21741  df-perf 21742 This theorem is referenced by:  perfdvf  24506
 Copyright terms: Public domain W3C validator