MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfopn 21397
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
2 perftop 21368 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 474 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54toptopon 21129 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63, 5sylib 210 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elssuni 4702 . . . . . . 7 (𝑌𝐽𝑌 𝐽)
87adantl 475 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 𝐽)
98, 4syl6sseqr 3871 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌𝑋)
10 resttopon 21373 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
116, 9, 10syl2anc 579 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
121, 11syl5eqel 2863 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 21125 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3821 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
164perfi 21367 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1716adantlr 705 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 585 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2851 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌))
20 restopn2 21389 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
212, 20sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
2221adantr 474 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23 simpl 476 . . . . . . 7 (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 245 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
2519, 24syl5bi 234 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 190 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3148 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28 toponuni 21126 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 = 𝐾)
3029raleqdv 3340 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 224 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
32 eqid 2778 . . 3 𝐾 = 𝐾
3332isperf3 21365 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 578 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wss 3792  {csn 4398   cuni 4671  cfv 6135  (class class class)co 6922  t crest 16467  Topctop 21105  TopOnctopon 21122  Perfcperf 21347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-fin 8245  df-fi 8605  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-lp 21348  df-perf 21349
This theorem is referenced by:  perfdvf  24104
  Copyright terms: Public domain W3C validator