MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfopn 23180
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
2 perftop 23151 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54toptopon 22910 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elssuni 4945 . . . . . . 7 (𝑌𝐽𝑌 𝐽)
87adantl 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 𝐽)
98, 4sseqtrrdi 4031 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌𝑋)
10 resttopon 23156 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
116, 9, 10syl2anc 582 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
121, 11eqeltrid 2830 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 22906 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3979 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
164perfi 23150 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1716adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 589 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2818 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌))
20 restopn2 23172 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
212, 20sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
2221adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23 simpl 481 . . . . . . 7 (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
2422, 23biimtrdi 252 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
2519, 24biimtrid 241 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 197 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3136 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28 toponuni 22907 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 = 𝐾)
3029raleqdv 3315 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 231 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
32 eqid 2726 . . 3 𝐾 = 𝐾
3332isperf3 23148 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 581 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3947  {csn 4633   cuni 4913  cfv 6554  (class class class)co 7424  t crest 17435  Topctop 22886  TopOnctopon 22903  Perfcperf 23130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-en 8975  df-fin 8978  df-fi 9454  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-lp 23131  df-perf 23132
This theorem is referenced by:  perfdvf  25923
  Copyright terms: Public domain W3C validator