MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem perfopn 22689
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Perf)
Proof of Theorem perfopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
2 perftop 22660 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
63, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 elssuni 4942 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐽 β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
87adantl 483 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
98, 4sseqtrrdi 4034 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
10 resttopon 22665 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
116, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
121, 11eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
13 topontop 22415 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3983 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
164perfi 22659 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
1716adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 592 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2826 . . . . . 6 ({π‘₯} ∈ 𝐾 ↔ {π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
20 restopn2 22681 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
212, 20sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
2221adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
23 simpl 484 . . . . . . 7 (({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ) β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 253 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽))
2519, 24biimtrid 241 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ 𝐾 β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 197 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3147 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
28 toponuni 22416 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
3029raleqdv 3326 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 231 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
32 eqid 2733 . . 3 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3332isperf3 22657 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 584 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Perfcperf 22639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-lp 22640  df-perf 22641
This theorem is referenced by:  perfdvf  25420
  Copyright terms: Public domain W3C validator