MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem perfopn 22909
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Perf)
Proof of Theorem perfopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
2 perftop 22880 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54toptopon 22639 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
63, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 elssuni 4941 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐽 β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
98, 4sseqtrrdi 4033 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
10 resttopon 22885 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
116, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
121, 11eqeltrid 2837 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
13 topontop 22635 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3982 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
164perfi 22879 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
1716adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 591 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2825 . . . . . 6 ({π‘₯} ∈ 𝐾 ↔ {π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
20 restopn2 22901 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
212, 20sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ ({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)))
23 simpl 483 . . . . . . 7 (({π‘₯} ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† π‘Œ) β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 252 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽))
2519, 24biimtrid 241 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ 𝐾 β†’ {π‘₯} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 197 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
28 toponuni 22636 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
3029raleqdv 3325 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 231 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾)
32 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3332isperf3 22877 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾 Β¬ {π‘₯} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ π‘Œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Perfcperf 22859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-lp 22860  df-perf 22861
This theorem is referenced by:  perfdvf  25644
  Copyright terms: Public domain W3C validator