Theorem perfopn 23072

Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
restcls.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
perfopn	⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
2		perftop 23043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4		restcls.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	toptopon 22804	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	3, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		elssuni 4901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9	8, 4	sseqtrrdi 3988	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		resttopon 23048	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
12	1, 11	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13		topontop 22800	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
15	9	sselda 3946	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	4	perfi 23042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
17	16	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
18	15, 17	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
19	1	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽 ↾t 𝑌))
20		restopn2 23064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
21	2, 20	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
24	22, 23	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽 ↾t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
25	19, 24	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
26	18, 25	mtod 198	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
27	26	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28		toponuni 22801	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = ∪ 𝐾)
29	12, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝑌 = ∪ 𝐾)
30	27, 29	raleqtrdv 3301	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
31		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
32	31	isperf3 23040	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
33	14, 30, 32	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  Topctop 22780  TopOnctopon 22797  Perfcperf 23022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-lp 23023  df-perf 23024

This theorem is referenced by:  perfdvf  25804