Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polssatN 38184
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
polssat.p βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polssatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 eqid 2736 . . 3 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
3 polssat.p . . 3 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
41, 2, 3polsubN 38183 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
51, 2psubssat 38030 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
64, 5syldan 591 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3898  β€˜cfv 6479  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  PSubSpcpsubsp 37772  βŠ₯𝑃cpolN 38178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-polarityN 38179
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  38194  polcon2N  38195  pclss2polN  38197  2pmaplubN  38202  paddunN  38203  ispsubcl2N  38223  poml5N  38230  osumcllem1N  38232  osumcllem2N  38233  osumcllem3N  38234  osumcllem9N  38240  osumcllem11N  38242  pexmidN  38245  pexmidlem2N  38247  pexmidlem3N  38248  pexmidlem7N  38252  pexmidlem8N  38253
  Copyright terms: Public domain W3C validator