Theorem polssatN 41168

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polssatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3		polssat.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	polsubN 41167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
5	1, 2	psubssat 41014	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syldan 603	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  Atomscatm 40523  HLchlt 40610  PSubSpcpsubsp 40756  ⊥_𝑃cpolN 41162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-proset 18500  df-poset 18519  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p1 18630  df-lat 18638  df-clat 18705  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-psubsp 40763  df-pmap 40764  df-polarityN 41163

This theorem is used by:  2polcon4bN  41178  polcon2N  41179  pclss2polN  41181  2pmaplubN  41186  paddunN  41187  ispsubcl2N  41207  poml5N  41214  osumcllem1N  41216  osumcllem2N  41217  osumcllem3N  41218  osumcllem9N  41224  osumcllem11N  41226  pexmidN  41229  pexmidlem2N  41231  pexmidlem3N  41232  pexmidlem7N  41236  pexmidlem8N  41237