Theorem polssatN 40663

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polssatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3		polssat.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	polsubN 40662	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
5	1, 2	psubssat 40509	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syldan 602	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  Atomscatm 40018  HLchlt 40105  PSubSpcpsubsp 40251  ⊥_𝑃cpolN 40657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-psubsp 40258  df-pmap 40259  df-polarityN 40658

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  40673  polcon2N  40674  pclss2polN  40676  2pmaplubN  40681  paddunN  40682  ispsubcl2N  40702  poml5N  40709  osumcllem1N  40711  osumcllem2N  40712  osumcllem3N  40713  osumcllem9N  40719  osumcllem11N  40721  pexmidN  40724  pexmidlem2N  40726  pexmidlem3N  40727  pexmidlem7N  40731  pexmidlem8N  40732