Theorem polssatN 40013

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polssatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3		polssat.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	polsubN 40012	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
5	1, 2	psubssat 39859	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syldan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6487  Atomscatm 39368  HLchlt 39455  PSubSpcpsubsp 39601  ⊥_𝑃cpolN 40007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18206  df-poset 18225  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-p1 18336  df-lat 18344  df-clat 18411  df-oposet 39281  df-ol 39283  df-oml 39284  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-psubsp 39608  df-pmap 39609  df-polarityN 40008

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  40023  polcon2N  40024  pclss2polN  40026  2pmaplubN  40031  paddunN  40032  ispsubcl2N  40052  poml5N  40059  osumcllem1N  40061  osumcllem2N  40062  osumcllem3N  40063  osumcllem9N  40069  osumcllem11N  40071  pexmidN  40074  pexmidlem2N  40076  pexmidlem3N  40077  pexmidlem7N  40081  pexmidlem8N  40082