Theorem polssatN 39891

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polssatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3		polssat.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	polsubN 39890	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
5	1, 2	psubssat 39737	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syldan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  PSubSpcpsubsp 39479  ⊥_𝑃cpolN 39885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39901  polcon2N  39902  pclss2polN  39904  2pmaplubN  39909  paddunN  39910  ispsubcl2N  39930  poml5N  39937  osumcllem1N  39939  osumcllem2N  39940  osumcllem3N  39941  osumcllem9N  39947  osumcllem11N  39949  pexmidN  39952  pexmidlem2N  39954  pexmidlem3N  39955  pexmidlem7N  39959  pexmidlem8N  39960