Theorem polssatN 39896

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polssatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3		polssat.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	polsubN 39895	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
5	1, 2	psubssat 39742	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syldan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Atomscatm 39250  HLchlt 39337  PSubSpcpsubsp 39484  ⊥_𝑃cpolN 39890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18236  df-poset 18255  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p1 18366  df-lat 18374  df-clat 18441  df-oposet 39163  df-ol 39165  df-oml 39166  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338  df-psubsp 39491  df-pmap 39492  df-polarityN 39891

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39906  polcon2N  39907  pclss2polN  39909  2pmaplubN  39914  paddunN  39915  ispsubcl2N  39935  poml5N  39942  osumcllem1N  39944  osumcllem2N  39945  osumcllem3N  39946  osumcllem9N  39952  osumcllem11N  39954  pexmidN  39957  pexmidlem2N  39959  pexmidlem3N  39960  pexmidlem7N  39964  pexmidlem8N  39965