Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polssatN 38779
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
polssat.p βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polssatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
3 polssat.p . . 3 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
41, 2, 3polsubN 38778 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
51, 2psubssat 38625 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
64, 5syldan 592 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  PSubSpcpsubsp 38367  βŠ₯𝑃cpolN 38773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  38789  polcon2N  38790  pclss2polN  38792  2pmaplubN  38797  paddunN  38798  ispsubcl2N  38818  poml5N  38825  osumcllem1N  38827  osumcllem2N  38828  osumcllem3N  38829  osumcllem9N  38835  osumcllem11N  38837  pexmidN  38840  pexmidlem2N  38842  pexmidlem3N  38843  pexmidlem7N  38847  pexmidlem8N  38848
  Copyright terms: Public domain W3C validator