Theorem pexmidALTN 40441

Description: Excluded middle law for closed projective subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law poml4N 40416. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. TODO: should we make this obsolete? (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidALT.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidALT.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pexmidALTN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidALTN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
2		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘∅))
3	1, 2	oveq12d 7379	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = (∅ + ( ⊥ ‘∅)))
4		pexmidALT.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidALT.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	pol0N 40372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)
7		eqimss 3981	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘∅) = 𝐴 → ( ⊥ ‘∅) ⊆ 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) ⊆ 𝐴)
9		pexmidALT.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	4, 9	padd02 40275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘∅) ⊆ 𝐴) → (∅ + ( ⊥ ‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	8, 10	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∅ + ( ⊥ ‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	11, 6	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∅ + ( ⊥ ‘∅)) = 𝐴)
13	12	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → (∅ + ( ⊥ ‘∅)) = 𝐴)
14	3, 13	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)
15	4, 9, 5	pexmidlem8N 40440	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)
16	15	anassrs 467	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)
17	14, 16	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  +_𝑃cpadd 40258  ⊥_𝑃cpolN 40365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-polarityN 40366  df-psubclN 40398

This theorem is referenced by: (None)