Theorem 1psubclN 39909

Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3982	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ⊆ 𝐴)
2		1psubcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pol1N 39875	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6879	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅))
6	2, 3	pol0N 39874	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8		1psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
9	2, 3, 8	ispsubclN 39902	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
10	1, 7, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ‘cfv 6530  Atomscatm 39227  HLchlt 39314  ⊥_𝑃cpolN 39867  PSubClcpscN 39899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-proset 18304  df-poset 18323  df-plt 18338  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-p0 18433  df-p1 18434  df-lat 18440  df-clat 18507  df-oposet 39140  df-ol 39142  df-oml 39143  df-covers 39230  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315  df-pmap 39469  df-polarityN 39868  df-psubclN 39900

This theorem is referenced by: (None)