Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1psubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1psubclN 37185
Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1psubclN (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN
StepHypRef Expression
1 ssidd 3976 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐴)
2 1psubcl.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . . 5 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
42, 3pol1N 37151 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘𝐴) = ∅)
54fveq2d 6665 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃𝐾)‘∅))
62, 3pol0N 37150 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘∅) = 𝐴)
75, 6eqtrd 2859 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8 1psubcl.c . . 3 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
92, 3, 8ispsubclN 37178 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
101, 7, 9mpbir2and 712 1 (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  c0 4276  cfv 6343  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  𝑃cpolN 37143  PSubClcpscN 37175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-undef 7935  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-pmap 36745  df-polarityN 37144  df-psubclN 37176
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator