Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1psubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1psubclN 39449
Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
1psubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1psubclN (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN
StepHypRef Expression
1 ssidd 4005 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐴)
2 1psubcl.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 eqid 2728 . . . . 5 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
42, 3pol1N 39415 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘𝐴) = ∅)
54fveq2d 6906 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃𝐾)‘∅))
62, 3pol0N 39414 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘∅) = 𝐴)
75, 6eqtrd 2768 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8 1psubcl.c . . 3 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
92, 3, 8ispsubclN 39442 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐴 ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
101, 7, 9mpbir2and 711 1 (𝐾 ∈ HL → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  c0 4326  cfv 6553  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  𝑃cpolN 39407  PSubClcpscN 39439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-pmap 39009  df-polarityN 39408  df-psubclN 39440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator