Theorem 1psubclN 39328

Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4000	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ⊆ 𝐴)
2		1psubcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pol1N 39294	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅))
6	2, 3	pol0N 39293	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8		1psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
9	2, 3, 8	ispsubclN 39321	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
10	1, 7, 9	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ‘cfv 6537  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  ⊥_𝑃cpolN 39286  PSubClcpscN 39318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-pmap 38888  df-polarityN 39287  df-psubclN 39319

This theorem is referenced by: (None)