Theorem 1psubclN 39894

Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4032	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ⊆ 𝐴)
2		1psubcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pol1N 39860	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6919	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅))
6	2, 3	pol0N 39859	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8		1psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
9	2, 3, 8	ispsubclN 39887	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
10	1, 7, 9	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6568  Atomscatm 39212  HLchlt 39299  ⊥_𝑃cpolN 39852  PSubClcpscN 39884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18359  df-poset 18377  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-p1 18490  df-lat 18496  df-clat 18563  df-oposet 39125  df-ol 39127  df-oml 39128  df-covers 39215  df-ats 39216  df-atl 39247  df-cvlat 39271  df-hlat 39300  df-pmap 39454  df-polarityN 39853  df-psubclN 39885

This theorem is referenced by: (None)