Theorem 1psubclN 40407

Description: The set of all atoms is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
1psubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 1psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3946	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ⊆ 𝐴)
2		1psubcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pol1N 40373	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅))
6	2, 3	pol0N 40372	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘∅) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)
8		1psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
9	2, 3, 8	ispsubclN 40400	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝐴)) = 𝐴)))
10	1, 7, 9	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6493  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  ⊥_𝑃cpolN 40365  PSubClcpscN 40397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-pmap 39967  df-polarityN 40366  df-psubclN 40398

This theorem is referenced by: (None)