Theorem 2pol0N 38782

Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pol0.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pol0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Proof of Theorem 2pol0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		2pol0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	pol0N 38780	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) = (Atoms‘𝐾))
4	3	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)))
5	1, 2	pol1N 38781	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)) = ∅)
6	4, 5	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  ⊥_𝑃cpolN 38773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-pmap 38375  df-polarityN 38774

This theorem is referenced by:  pcl0N  38793  0psubclN  38814