Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pol0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pol0N 39384
Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
2pol0.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2pol0N (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜βˆ…)) = βˆ…)

Proof of Theorem 2pol0N
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2 2pol0.o . . . 4 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
31, 2pol0N 39382 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = (Atomsβ€˜πΎ))
43fveq2d 6901 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜βˆ…)) = ( βŠ₯ β€˜(Atomsβ€˜πΎ)))
51, 2pol1N 39383 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜(Atomsβ€˜πΎ)) = βˆ…)
64, 5eqtrd 2768 1 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜βˆ…)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  βŠ₯𝑃cpolN 39375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-pmap 38977  df-polarityN 39376
This theorem is referenced by:  pcl0N  39395  0psubclN  39416
  Copyright terms: Public domain W3C validator