Theorem 2pol0N 39384

Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pol0.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pol0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Proof of Theorem 2pol0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		2pol0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	pol0N 39382	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) = (Atoms‘𝐾))
4	3	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)))
5	1, 2	pol1N 39383	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)) = ∅)
6	4, 5	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323  ‘cfv 6548  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  ⊥_𝑃cpolN 39375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-pmap 38977  df-polarityN 39376

This theorem is referenced by:  pcl0N  39395  0psubclN  39416