Theorem 2pol0N 37925

Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pol0.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pol0N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Proof of Theorem 2pol0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		2pol0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	pol0N 37923	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) = (Atoms‘𝐾))
4	3	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)))
5	1, 2	pol1N 37924	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘(Atoms‘𝐾)) = ∅)
6	4, 5	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘∅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  ⊥_𝑃cpolN 37916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-undef 8089  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-pmap 37518  df-polarityN 37917

This theorem is referenced by:  pcl0N  37936  0psubclN  37957