Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem6N 39977
Description: Lemma for pexmidN 39971. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = 𝑋)

Proof of Theorem pexmidlem6N
StepHypRef Expression
1 pexmidlem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 pexmidlem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3 pexmidlem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pexmidlem.p . . . . . . . 8 + = (+𝑃𝐾)
5 pexmidlem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
6 pexmidlem.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
71, 2, 3, 4, 5, 6pexmidlem5N 39976 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
873adantr1 1170 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
98fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) = ( ‘∅))
10 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
113, 5pol0N 39911 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ( ‘∅) = 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘∅) = 𝐴)
139, 12eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) = 𝐴)
1413ineq1d 4219 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = (𝐴𝑀))
15 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
16 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
1716snssd 4809 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
183, 4paddssat 39816 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
1910, 15, 17, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
206, 19eqsstrid 4022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀𝐴)
2110, 15, 203jca 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑀𝐴))
223, 4sspadd1 39817 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
2310, 15, 17, 22syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
2423, 6sseqtrrdi 4025 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝑀)
25 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
273, 5, 26ispsubclN 39939 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)))
2810, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)))
2915, 25, 28mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾))
303, 4, 26paddatclN 39951 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ (PSubCl‘𝐾))
3110, 29, 16, 30syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ (PSubCl‘𝐾))
326, 31eqeltrid 2845 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 ∈ (PSubCl‘𝐾))
335, 26psubcli2N 39941 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑀 ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ( ‘( 𝑀)) = 𝑀)
3410, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑀)) = 𝑀)
3524, 34jca 511 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋𝑀 ∧ ( ‘( 𝑀)) = 𝑀))
363, 5poml4N 39955 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑀𝐴) → ((𝑋𝑀 ∧ ( ‘( 𝑀)) = 𝑀) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = ( ‘( 𝑋))))
3721, 35, 36sylc 65 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = ( ‘( 𝑋)))
38 sseqin2 4223 . . . 4 (𝑀𝐴 ↔ (𝐴𝑀) = 𝑀)
3920, 38sylib 218 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝐴𝑀) = 𝑀)
4014, 37, 393eqtr3rd 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = ( ‘( 𝑋)))
4140, 25eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  +𝑃cpadd 39797  𝑃cpolN 39904  PSubClcpscN 39936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-polarityN 39905  df-psubclN 39937
This theorem is referenced by:  pexmidlem8N  39979
  Copyright terms: Public domain W3C validator