Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem6N 39958
Description: Lemma for pexmidN 39952. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = 𝑋)

Proof of Theorem pexmidlem6N
StepHypRef Expression
1 pexmidlem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 pexmidlem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3 pexmidlem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pexmidlem.p . . . . . . . 8 + = (+𝑃𝐾)
5 pexmidlem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
6 pexmidlem.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
71, 2, 3, 4, 5, 6pexmidlem5N 39957 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
873adantr1 1168 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
98fveq2d 6911 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) = ( ‘∅))
10 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
113, 5pol0N 39892 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ( ‘∅) = 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘∅) = 𝐴)
139, 12eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) = 𝐴)
1413ineq1d 4227 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = (𝐴𝑀))
15 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
16 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
1716snssd 4814 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
183, 4paddssat 39797 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
1910, 15, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
206, 19eqsstrid 4044 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀𝐴)
2110, 15, 203jca 1127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑀𝐴))
223, 4sspadd1 39798 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
2310, 15, 17, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
2423, 6sseqtrrdi 4047 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝑀)
25 simpr1 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
26 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
273, 5, 26ispsubclN 39920 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)))
2810, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)))
2915, 25, 28mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾))
303, 4, 26paddatclN 39932 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ (PSubCl‘𝐾))
3110, 29, 16, 30syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ (PSubCl‘𝐾))
326, 31eqeltrid 2843 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 ∈ (PSubCl‘𝐾))
335, 26psubcli2N 39922 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑀 ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ( ‘( 𝑀)) = 𝑀)
3410, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑀)) = 𝑀)
3524, 34jca 511 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋𝑀 ∧ ( ‘( 𝑀)) = 𝑀))
363, 5poml4N 39936 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑀𝐴) → ((𝑋𝑀 ∧ ( ‘( 𝑀)) = 𝑀) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = ( ‘( 𝑋))))
3721, 35, 36sylc 65 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∩ 𝑀) = ( ‘( 𝑋)))
38 sseqin2 4231 . . . 4 (𝑀𝐴 ↔ (𝐴𝑀) = 𝑀)
3920, 38sylib 218 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝐴𝑀) = 𝑀)
4014, 37, 393eqtr3rd 2784 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = ( ‘( 𝑋)))
4140, 25eqtrd 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  +𝑃cpadd 39778  𝑃cpolN 39885  PSubClcpscN 39917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-polarityN 39886  df-psubclN 39918
This theorem is referenced by:  pexmidlem8N  39960
  Copyright terms: Public domain W3C validator