MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre1 23579
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑤   𝑘,𝐼,𝑤   𝑈,𝑘,𝑤   𝑘,𝑉,𝑤   𝑤,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝐼))
2 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
32unieqd 4920 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
41, 3eleq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
5 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
65elixp 8944 . . . . . . . . . 10 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑤 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
76simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
8 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
97, 8eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
109adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
11 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐼𝐴)
124, 10, 11rspcdva 3623 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
1312fmpttd 7135 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼))
14 ffn 6736 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋)
15 elpreima 7078 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
17 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐼) = (𝑧𝐼))
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))
19 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐼) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) = (𝑧𝐼))
2120eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑧𝑋 → (((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
2221pm5.32i 574 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
238eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
24 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2524elixp 8944 . . . . . . . . 9 (𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2726anbi1i 624 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
28 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
2927, 28bitri 275 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
3022, 29bitri 275 . . . . 5 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
31 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)
32 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝐼))
33 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = 𝑈)
3432, 33eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
3531, 34syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
36 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
37 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
3837eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
3936, 38syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (¬ 𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4035, 39pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
4140expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ((𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4241ralimdv 3169 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4342expimpd 453 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4443ancomsd 465 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
45 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (𝐹𝐼) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4645ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4733, 3sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘) ↔ 𝑈 (𝐹𝐼)))
4846, 47syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘)))
49 ssid 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹𝑘)
5037, 49eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . 11 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5148, 50pm2.61d1 180 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5251sseld 3982 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5352ralimdv 3169 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5434rspcv 3618 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5554ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5653, 55jcad 512 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
5744, 56impbid 212 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
5857anbi2d 630 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
5930, 58bitrid 283 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6016, 59bitrd 279 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6124elixp 8944 . . 3 (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6260, 61bitr4di 289 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6362eqrdv 2735 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  ifcif 4525   cuni 4907  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Xcixp 8937  Topctop 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ixp 8938
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  23588  ptbasfi  23589
  Copyright terms: Public domain W3C validator