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Theorem ptpjpre1 22938
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1 𝑋 = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝑀,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑀   π‘˜,𝐼,𝑀   π‘ˆ,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑉,𝑀   𝑀,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜πΌ))
2 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜πΌ))
32unieqd 4884 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐼 β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
41, 3eleq12d 2832 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (π‘€β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ)))
5 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
65elixp 8849 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (𝑀 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘€β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
76simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘€β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
8 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
97, 8eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘€β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
109adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘€β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
11 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
124, 10, 11rspcdva 3585 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
1312fmpttd 7068 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
14 ffn 6673 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) Fn 𝑋)
15 elpreima 7013 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ)))
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ)))
17 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘€β€˜πΌ) = (π‘§β€˜πΌ))
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))
19 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (π‘§β€˜πΌ) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) = (π‘§β€˜πΌ))
2120eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ (((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
2221pm5.32i 576 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
238eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
24 vex 3452 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2524elixp 8849 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
2726anbi1i 625 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) ↔ ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
28 anass 470 . . . . . . 7 (((𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)))
2927, 28bitri 275 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)))
3022, 29bitri 275 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)))
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ ((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)
32 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘§β€˜π‘˜) = (π‘§β€˜πΌ))
33 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝐼 β†’ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = π‘ˆ)
3432, 33eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
3531, 34syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ ((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
36 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ ((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
37 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘˜ = 𝐼 β†’ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3837eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
3936, 38syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ ((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
4035, 39pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ ((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4140expr 458 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
4241ralimdv 3167 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
4342expimpd 455 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (((π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
4443ancomsd 467 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
45 elssuni 4903 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
4733, 3sseq12d 3982 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜πΌ)))
4846, 47syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (π‘˜ = 𝐼 β†’ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
49 ssid 3971 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
5037, 49eqsstrdi 4003 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ = 𝐼 β†’ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
5148, 50pm2.61d1 180 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
5251sseld 3948 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
5352ralimdv 3167 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
5434rspcv 3580 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
5554ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ))
5653, 55jcad 514 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)))
5744, 56impbid 211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
5857anbi2d 630 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘§β€˜πΌ) ∈ π‘ˆ)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))))
5930, 58bitrid 283 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ))β€˜π‘§) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))))
6016, 59bitrd 279 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))))
6124elixp 8849 . . 3 (𝑧 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘§β€˜π‘˜) ∈ if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
6260, 61bitr4di 289 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ↔ 𝑧 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
6362eqrdv 2735 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Xcixp 8842  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ixp 8843
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  22947  ptbasfi  22948
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