MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre1 22468
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑤   𝑘,𝐼,𝑤   𝑈,𝑘,𝑤   𝑘,𝑉,𝑤   𝑤,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝐼))
2 fveq2 6717 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
32unieqd 4833 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
41, 3eleq12d 2832 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
5 vex 3412 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
65elixp 8585 . . . . . . . . . 10 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑤 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
76simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
8 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
97, 8eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
109adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
11 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐼𝐴)
124, 10, 11rspcdva 3539 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
1312fmpttd 6932 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼))
14 ffn 6545 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋)
15 elpreima 6878 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
17 fveq1 6716 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐼) = (𝑧𝐼))
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))
19 fvex 6730 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐼) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6818 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) = (𝑧𝐼))
2120eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑧𝑋 → (((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
2221pm5.32i 578 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
238eleq2i 2829 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
24 vex 3412 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2524elixp 8585 . . . . . . . . 9 (𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2623, 25bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2726anbi1i 627 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
28 anass 472 . . . . . . 7 (((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
2927, 28bitri 278 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
3022, 29bitri 278 . . . . 5 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
31 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)
32 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝐼))
33 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = 𝑈)
3432, 33eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
3531, 34syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
36 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
37 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
3837eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
3936, 38syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (¬ 𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4035, 39pm2.61d 182 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
4140expr 460 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ((𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4241ralimdv 3101 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4342expimpd 457 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4443ancomsd 469 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
45 elssuni 4851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (𝐹𝐼) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4645ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4733, 3sseq12d 3934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘) ↔ 𝑈 (𝐹𝐼)))
4846, 47syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘)))
49 ssid 3923 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹𝑘)
5037, 49eqsstrdi 3955 . . . . . . . . . . 11 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5148, 50pm2.61d1 183 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5251sseld 3900 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5352ralimdv 3101 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5434rspcv 3532 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5554ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5653, 55jcad 516 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
5744, 56impbid 215 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
5857anbi2d 632 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
5930, 58syl5bb 286 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6016, 59bitrd 282 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6124elixp 8585 . . 3 (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6260, 61bitr4di 292 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6362eqrdv 2735 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wss 3866  ifcif 4439   cuni 4819  cmpt 5135  ccnv 5550  cima 5554   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  Xcixp 8578  Topctop 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ixp 8579
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  22477  ptbasfi  22478
  Copyright terms: Public domain W3C validator