Theorem ptpjpre2 23558

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
ptbasfi.2	⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)
2	1	ptpjpre1 23549	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)))
3		ptbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
4		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snfi 8984	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
8	7	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
10	9	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝐼))
11	8, 10	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑛))
12		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
13	12	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ Top)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑛) = ∪ (𝐹‘𝑛)
15	14	topopn 22884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
18	11, 17	ifclda 4503	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ (𝐹‘𝑛))
19		eldifsni 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛 ≠ 𝐼)
20	19	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
22	21	iffalsed 4478	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) = ∪ (𝐹‘𝑛))
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 23552	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ 𝐵)
24	2, 23	eqeltrd 2837	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  Xcixp 8839  Fincfn 8887  Topctop 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-ixp 8840  df-en 8888  df-fin 8891  df-top 22872

This theorem is referenced by:  ptbasfi  23559  ptpjcn  23589