Theorem ptpjpre2 23954

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
ptbasfi.2	⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)
2	1	ptpjpre1 23945	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)))
3		ptbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
4		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
8	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
10	9	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝐼))
11	8, 10	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑛))
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
13	12	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ Top)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑛) = ∪ (𝐹‘𝑛)
15	14	topopn 23279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
18	11, 17	ifclda 4521	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ (𝐹‘𝑛))
19		eldifsni 4755	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛 ≠ 𝐼)
20	19	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
22	21	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) = ∪ (𝐹‘𝑛))
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 23948	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ 𝐵)
24	2, 23	eqeltrd 2864	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  Xcixp 8963  Fincfn 9011  Topctop 23266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-ixp 8964  df-en 9012  df-fin 9015  df-top 23267

This theorem is used by:  ptbasfi  23955  ptpjcn  23985