Theorem ptpjpre2 23788

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
ptbasfi.2	⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)
2	1	ptpjpre1 23779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)))
3		ptbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
4		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snfi 9047	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
8	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
10	9	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝐼))
11	8, 10	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑛))
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
13	12	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ Top)
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑛) = ∪ (𝐹‘𝑛)
15	14	topopn 23113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
18	11, 17	ifclda 4525	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ (𝐹‘𝑛))
19		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛 ≠ 𝐼)
20	19	neneqd 2965	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
22	21	iffalsed 4500	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) = ∪ (𝐹‘𝑛))
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 23782	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ 𝐵)
24	2, 23	eqeltrd 2865	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Xcixp 8901  Fincfn 8949  Topctop 23100

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-ixp 8902  df-en 8950  df-fin 8953  df-top 23101

This theorem is used by:  ptbasfi  23789  ptpjcn  23819