Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre2 22185
 Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
ptbasfi.2 𝑋 = X𝑛𝐴 (𝐹𝑛)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2
StepHypRef Expression
1 ptbasfi.2 . . 3 𝑋 = X𝑛𝐴 (𝐹𝑛)
21ptpjpre1 22176 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)))
3 ptbas.1 . . 3 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
4 simpll 766 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝐴𝑉)
5 snfi 8577 . . . 4 {𝐼} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹𝐼))
87ad2antrr 725 . . . . 5 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹𝐼))
9 simpr 488 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
109fveq2d 6649 . . . . 5 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝐼))
118, 10eleqtrrd 2893 . . . 4 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹𝑛))
12 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
1312ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ Top)
14 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛)
1514topopn 21511 . . . . . 6 ((𝐹𝑛) ∈ Top → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1716adantr 484 . . . 4 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1811, 17ifclda 4459 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) ∈ (𝐹𝑛))
19 eldifsni 4683 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛𝐼)
2019neneqd 2992 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
2120adantl 485 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
2221iffalsed 4436 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) = (𝐹𝑛))
233, 4, 6, 18, 22elptr2 22179 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → X𝑛𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) ∈ 𝐵)
242, 23eqeltrd 2890 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  ifcif 4425  {csn 4525  ∪ cuni 4800   ↦ cmpt 5110  ◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Xcixp 8444  Fincfn 8492  Topctop 21498 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-ixp 8445  df-en 8493  df-fin 8496  df-top 21499 This theorem is referenced by:  ptbasfi  22186  ptpjcn  22216
 Copyright terms: Public domain W3C validator