MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre2 21803
Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
ptbasfi.2 𝑋 = X𝑛𝐴 (𝐹𝑛)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2
StepHypRef Expression
1 ptbasfi.2 . . 3 𝑋 = X𝑛𝐴 (𝐹𝑛)
21ptpjpre1 21794 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)))
3 ptbas.1 . . 3 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
4 simpll 757 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝐴𝑉)
5 snfi 8328 . . . 4 {𝐼} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7 simprr 763 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹𝐼))
87ad2antrr 716 . . . . 5 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹𝐼))
9 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
109fveq2d 6452 . . . . 5 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝐼))
118, 10eleqtrrd 2862 . . . 4 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹𝑛))
12 simplr 759 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
1312ffvelrnda 6625 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ Top)
14 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛)
1514topopn 21129 . . . . . 6 ((𝐹𝑛) ∈ Top → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1716adantr 474 . . . 4 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹𝑛) ∈ (𝐹𝑛))
1811, 17ifclda 4341 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) ∈ (𝐹𝑛))
19 eldifsni 4553 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛𝐼)
2019neneqd 2974 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
2120adantl 475 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
2221iffalsed 4318 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) = (𝐹𝑛))
233, 4, 6, 18, 22elptr2 21797 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → X𝑛𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑛)) ∈ 𝐵)
242, 23eqeltrd 2859 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  {cab 2763  wral 3090  wrex 3091  cdif 3789  ifcif 4307  {csn 4398   cuni 4673  cmpt 4967  ccnv 5356  cima 5360   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  Xcixp 8196  Fincfn 8243  Topctop 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-1o 7845  df-ixp 8197  df-en 8244  df-fin 8247  df-top 21117
This theorem is referenced by:  ptbasfi  21804  ptpjcn  21834
  Copyright terms: Public domain W3C validator