Theorem ptpjpre2 23640

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
ptbasfi.2	⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)
2	1	ptpjpre1 23631	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)))
3		ptbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
4		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snfi 9024	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
8	7	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
10	9	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝐼))
11	8, 10	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑛))
12		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
13	12	ffvelcdmda 7065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ Top)
14		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑛) = ∪ (𝐹‘𝑛)
15	14	topopn 22966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
18	11, 17	ifclda 4516	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ (𝐹‘𝑛))
19		eldifsni 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛 ≠ 𝐼)
20	19	neneqd 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
21	20	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
22	21	iffalsed 4491	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) = ∪ (𝐹‘𝑛))
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 23634	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ 𝐵)
24	2, 23	eqeltrd 2862	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901  ifcif 4480  {csn 4582  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  Xcixp 8879  Fincfn 8927  Topctop 22953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-ixp 8880  df-en 8928  df-fin 8931  df-top 22954

This theorem is referenced by:  ptbasfi  23641  ptpjcn  23671