MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre2 23439
Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
ptbasfi.2 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑀,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,𝑔,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑀,π‘₯,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑔)   π‘ˆ(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2
StepHypRef Expression
1 ptbasfi.2 . . 3 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)
21ptpjpre1 23430 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)))
3 ptbas.1 . . 3 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
4 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 snfi 9046 . . . 4 {𝐼} ∈ Fin
65a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ {𝐼} ∈ Fin)
7 simprr 770 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))
87ad2antrr 723 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))
9 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ 𝑛 = 𝐼)
109fveq2d 6889 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜πΌ))
118, 10eleqtrrd 2830 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜π‘›))
12 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
1312ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ Top)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 βˆͺ (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)
1514topopn 22763 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ Top β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (πΉβ€˜π‘›))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (πΉβ€˜π‘›))
1716adantr 480 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑛 = 𝐼) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (πΉβ€˜π‘›))
1811, 17ifclda 4558 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑛 = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)) ∈ (πΉβ€˜π‘›))
19 eldifsni 4788 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐼}) β†’ 𝑛 β‰  𝐼)
2019neneqd 2939 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐼}) β†’ Β¬ 𝑛 = 𝐼)
2120adantl 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐼})) β†’ Β¬ 𝑛 = 𝐼)
2221iffalsed 4534 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐼})) β†’ if(𝑛 = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘›))
233, 4, 6, 18, 22elptr2 23433 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, π‘ˆ, βˆͺ (πΉβ€˜π‘›)) ∈ 𝐡)
242, 23eqeltrd 2827 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (π‘€β€˜πΌ)) β€œ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  ifcif 4523  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  Xcixp 8893  Fincfn 8941  Topctop 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-top 22751
This theorem is referenced by:  ptbasfi  23440  ptpjcn  23470
  Copyright terms: Public domain W3C validator