Theorem ptpjpre2 23512

Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
ptbasfi.2	⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑤,𝑔,𝑥,𝑦,𝑛,𝐼   𝑧,𝑔,𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑈,𝑔,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐹,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑤,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)   𝑈(𝑧)   𝐼(𝑧)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem ptpjpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbasfi.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = X𝑛 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑛)
2	1	ptpjpre1 23503	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) = X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)))
3		ptbas.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
4		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snfi 9077	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → {𝐼} ∈ Fin)
7		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
8	7	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))
9		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑛 = 𝐼)
10	9	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝐼))
11	8, 10	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 = 𝐼) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑛))
12		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
13	12	ffvelcdmda 7099	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ Top)
14		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑛) = ∪ (𝐹‘𝑛)
15	14	topopn 22836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
17	16	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑛 = 𝐼) → ∪ (𝐹‘𝑛) ∈ (𝐹‘𝑛))
18	11, 17	ifclda 4567	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ (𝐹‘𝑛))
19		eldifsni 4798	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → 𝑛 ≠ 𝐼)
20	19	neneqd 2942	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
21	20	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑛 = 𝐼)
22	21	iffalsed 4543	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ {𝐼})) → if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) = ∪ (𝐹‘𝑛))
23	3, 4, 6, 18, 22	elptr2 23506	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → X𝑛 ∈ 𝐴 if(𝑛 = 𝐼, 𝑈, ∪ (𝐹‘𝑛)) ∈ 𝐵)
24	2, 23	eqeltrd 2829	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (𝐹‘𝐼))) → (◡(𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑤‘𝐼)) “ 𝑈) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2705  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3946  ifcif 4532  {csn 4632  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  Xcixp 8924  Fincfn 8972  Topctop 22823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-ixp 8925  df-en 8973  df-fin 8976  df-top 22824

This theorem is referenced by:  ptbasfi  23513  ptpjcn  23543