Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfgt 45407
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be b subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgt.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmfgt (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem issmfgt
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgt.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4 issmfgt.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
52, 3, 4smfdmss 45384 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
62, 3, 4smff 45383 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
7 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘πœ‘
8 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
97, 8nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
102, 5restuni4 43743 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
1110eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1211rabeqdv 3448 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)})
1312adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)})
14 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦πœ‘
15 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)
1614, 15nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
17 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
19 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑐((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
201uniexd 7727 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2321, 22ssexd 5323 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
245, 23syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 ∈ V)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
262, 24, 25subsalsal 45010 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
28 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
296adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
3230, 31eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
3329, 32ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3433rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
362, 4issmfle 45396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
373, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3837simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3910rabeqdv 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐})
4039eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ ({𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
4140ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
4238, 41mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
44 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
45 rspa 3246 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4643, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4746adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ 𝑐} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
48 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
4918, 19, 27, 28, 35, 47, 48salpreimalegt 45360 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5013, 49eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5150ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝑏 ∈ ℝ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
529, 51ralrimi 3255 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
535, 6, 523jca 1129 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5453ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
55 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
56 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦 𝐹:π·βŸΆβ„
57 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦ℝ
58 nfrab1 3452 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)}
59 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(𝑆 β†Ύt 𝐷)
6058, 59nfel 2918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
6157, 60nfralw 3309 . . . . . . 7 β„²π‘¦βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
6255, 56, 61nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
6314, 62nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
64 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆
65 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏 𝐹:π·βŸΆβ„
66 nfra1 3282 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
6764, 65, 66nf3an 1905 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
687, 67nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
691adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
70 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
71 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
72 simpr3 1197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
7363, 68, 69, 4, 70, 71, 72issmfgtlem 45406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
7473ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
7554, 74impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
76 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘¦)))
7776rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘¦)})
78 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
7978breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Ž < (πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)))
8079cbvrabv 3443 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)}
8180a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
8277, 81eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
8382eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
8483cbvralvw 3235 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
85843anbi3i 1160 . . 3 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
8685a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑏 < (πΉβ€˜π‘¦)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
8775, 86bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   β†Ύt crest 17362  SAlgcsalg 44959  SMblFncsmblfn 45346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 44960  df-smblfn 45347
This theorem is referenced by:  issmfgtd  45412  smfpreimagt  45413
  Copyright terms: Public domain W3C validator