Theorem issmfgtlem 47205

Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfgtlem.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfgtlem.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfgtlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfgtlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtlem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfgtlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgtlem

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfgtlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
2		issmfgtlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
3		issmfgtlem.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4	3, 1	restuni4 45575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
5	4	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
6	5	rabeqdv 3407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
8		issmfgtlem.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
10	8, 9	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11		issmfgtlem.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
12		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
13	11, 12	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
14	3	uniexd 7692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ V)
16		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
17	15, 16	ssexd 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
18	1, 17	mpdan 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
20	3, 18, 19	subsalsal 46809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
22		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
23	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
25	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
26	24, 25	eleqtrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
27	23, 26	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
29	28	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
30	4	rabeqdv 3407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
32		issmfgtlem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
33	32	r19.21bi 3232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	31, 33	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	34	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
37	10, 13, 21, 22, 29, 35, 36	salpreimagtlt 47180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	7, 37	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	38	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	1, 2, 39	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41		issmfgtlem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
42	3, 41	issmf 47178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
43	40, 42	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  {crab 3392  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ↾_t crest 17381  SAlgcsalg 46758  SMblFncsmblfn 47145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-fl 13749  df-rest 17383  df-salg 46759  df-smblfn 47146

This theorem is referenced by:  issmfgt  47206