Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgtlem 46770
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgtlem.x 𝑥𝜑
issmfgtlem.a 𝑎𝜑
issmfgtlem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgtlem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtlem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgtlem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgtlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgtlem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgtlem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgtlem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 45126 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqdv 3452 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgtlem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1899 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgtlem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1899 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 5324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 46374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 11311 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
304rabeqdv 3452 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
32 issmfgtlem.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3332r19.21bi 3251 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3431, 33eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3710, 13, 21, 22, 29, 35, 36salpreimagtlt 46745 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
387, 37eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
401, 2, 393jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
41 issmfgtlem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
423, 41issmf 46743 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4340, 42mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  issmfgt  46771
  Copyright terms: Public domain W3C validator