Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgtlem 43830
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgtlem.x 𝑥𝜑
issmfgtlem.a 𝑎𝜑
issmfgtlem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgtlem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtlem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgtlem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgtlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgtlem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgtlem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgtlem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 42208 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqdv 3386 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgtlem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 1921 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1906 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgtlem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 1921 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1906 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7486 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 5192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 43440 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelrnd 6862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 10769 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
304rabeqdv 3386 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
3130adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
32 issmfgtlem.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3332r19.21bi 3121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3431, 33eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3710, 13, 21, 22, 29, 35, 36salpreimagtlt 43805 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
387, 37eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938ralrimiva 3096 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
401, 2, 393jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
41 issmfgtlem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
423, 41issmf 43803 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4340, 42mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2114  wral 3053  {crab 3057  Vcvv 3398  wss 3843   cuni 4796   class class class wbr 5030  dom cdm 5525  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  *cxr 10752   < clt 10753  t crest 16797  SAlgcsalg 43391  SMblFncsmblfn 43775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-ac2 9963  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-card 9441  df-acn 9444  df-ac 9616  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-fl 13253  df-rest 16799  df-salg 43392  df-smblfn 43776
This theorem is referenced by:  issmfgt  43831
  Copyright terms: Public domain W3C validator