Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgtlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfgtlem 45956
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgtlem.x β„²π‘₯πœ‘
issmfgtlem.a β„²π‘Žπœ‘
issmfgtlem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfgtlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfgtlem.p (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgtlem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)
Proof of Theorem issmfgtlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgtlem.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2 issmfgtlem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
3 issmfgtlem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 44298 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2730 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65rabeqdv 3439 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
8 issmfgtlem.x . . . . . . 7 β„²π‘₯πœ‘
9 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgtlem.a . . . . . . 7 β„²π‘Žπœ‘
12 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7725 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1715, 16ssexd 5314 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 684 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
19 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 45560 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2724 . . . . . 6 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
232adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7077 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827rexrd 11261 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2928adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
304rabeqdv 3439 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
32 issmfgtlem.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3332r19.21bi 3240 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3431, 33eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3534adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3710, 13, 21, 22, 29, 35, 36salpreimagtlt 45931 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
387, 37eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3938ralrimiva 3138 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
401, 2, 393jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
41 issmfgtlem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
423, 41issmf 45929 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
4340, 42mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  β„*cxr 11244   < clt 11245   β†Ύt crest 17365  SAlgcsalg 45509  SMblFncsmblfn 45896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-fl 13754  df-rest 17367  df-salg 45510  df-smblfn 45897
This theorem is referenced by:  issmfgt  45957
  Copyright terms: Public domain W3C validator