Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgtlem 46711
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgtlem.x 𝑥𝜑
issmfgtlem.a 𝑎𝜑
issmfgtlem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgtlem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtlem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgtlem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgtlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgtlem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgtlem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgtlem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 45061 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqdv 3449 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgtlem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1897 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgtlem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1897 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 5330 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 46315 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
304rabeqdv 3449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)})
32 issmfgtlem.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3332r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3431, 33eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3710, 13, 21, 22, 29, 35, 36salpreimagtlt 46686 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
387, 37eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
401, 2, 393jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
41 issmfgtlem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
423, 41issmf 46684 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4340, 42mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  issmfgt  46712
  Copyright terms: Public domain W3C validator