Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgtlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfgtlem 45406
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgtlem.x β„²π‘₯πœ‘
issmfgtlem.a β„²π‘Žπœ‘
issmfgtlem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfgtlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfgtlem.p (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgtlem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)
Proof of Theorem issmfgtlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgtlem.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2 issmfgtlem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
3 issmfgtlem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 43743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65rabeqdv 3448 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
8 issmfgtlem.x . . . . . . 7 β„²π‘₯πœ‘
9 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgtlem.a . . . . . . 7 β„²π‘Žπœ‘
12 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7727 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1715, 16ssexd 5323 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 45010 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
232adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
24 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
254adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7083 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827rexrd 11260 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
304rabeqdv 3448 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)})
32 issmfgtlem.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3332r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3431, 33eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3534adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
36 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3710, 13, 21, 22, 29, 35, 36salpreimagtlt 45381 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
387, 37eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3938ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
401, 2, 393jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
41 issmfgtlem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
423, 41issmf 45379 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
4340, 42mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   β†Ύt crest 17362  SAlgcsalg 44959  SMblFncsmblfn 45346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 44960  df-smblfn 45347
This theorem is referenced by:  issmfgt  45407
  Copyright terms: Public domain W3C validator