Theorem issmfgtlem 47212

Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfgtlem.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfgtlem.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfgtlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtlem.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
issmfgtlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfgtlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtlem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfgtlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgtlem

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfgtlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
2		issmfgtlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
3		issmfgtlem.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4	3, 1	restuni4 45582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
5	4	eqcomd 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
6	5	rabeqdv 3408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
8		issmfgtlem.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
10	8, 9	nfan 1907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11		issmfgtlem.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
12		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
13	11, 12	nfan 1907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
14	3	uniexd 7689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
15	14	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ V)
16		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
17	15, 16	ssexd 5255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
18	1, 17	mpdan 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
20	3, 18, 19	subsalsal 46816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
21	20	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
22		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
23	2	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
25	4	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
26	24, 25	eleqtrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
27	23, 26	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
29	28	adantlr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
30	4	rabeqdv 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
31	30	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
32		issmfgtlem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
33	32	r19.21bi 3233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	31, 33	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
35	34	adantlr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
37	10, 13, 21, 22, 29, 35, 36	salpreimagtlt 47187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	7, 37	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	38	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	1, 2, 39	3jca 1135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41		issmfgtlem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
42	3, 41	issmf 47185	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
43	40, 42	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ↾_t crest 17378  SAlgcsalg 46765  SMblFncsmblfn 47152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-ac2 10380  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9858  df-acn 9861  df-ac 10033  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-fl 13746  df-rest 17380  df-salg 46766  df-smblfn 47153

This theorem is referenced by:  issmfgt  47213