Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflelem 43006
 Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x 𝑥𝜑
issmflelem.a 𝑎𝜑
issmflelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmflelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
64, 5restuni4 41372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 = (𝑆t 𝐷))
81, 7mpdan 685 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
98rabeqdv 3483 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
109adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
12 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1893 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 1893 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 7460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1817adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 5219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 42627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 685 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
25 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
261, 6mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
292ffvelrnda 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130rexrd 10683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3326rabeqdv 3483 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
3433adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 42991 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4140ralrimiva 3180 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
421, 2, 413jca 1122 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 42990 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4542, 44mpbird 259 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  {crab 3140  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   ↾t crest 16686  SAlgcsalg 42578  SMblFncsmblfn 42962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-fl 13154  df-rest 16688  df-salg 42579  df-smblfn 42963 This theorem is referenced by:  issmfle  43007
 Copyright terms: Public domain W3C validator