Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflelem 46123
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x 𝑥𝜑
issmflelem.a 𝑎𝜑
issmflelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmflelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
64, 5restuni4 44478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 = (𝑆t 𝐷))
81, 7mpdan 686 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
98rabeqdv 3443 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
12 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1895 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 1895 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 7742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 5319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 45738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
261, 6mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
292ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130rexrd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3326rabeqdv 3443 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 46108 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4140ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
421, 2, 413jca 1126 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 46107 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4542, 44mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3470  wss 3945   cuni 4904   class class class wbr 5143  dom cdm 5673  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  cr 11132  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  t crest 17396  SAlgcsalg 45687  SMblFncsmblfn 46074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fl 13784  df-rest 17398  df-salg 45688  df-smblfn 46075
This theorem is referenced by:  issmfle  46124
  Copyright terms: Public domain W3C validator