Theorem issmflelem 46729

Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmflelem.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmflelem.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmflelem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmflelem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmflelem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmflelem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
2		issmflelem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
3		issmflelem.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
6	4, 5	restuni4 45102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
7	6	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
8	1, 7	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
9	8	rabeqdv 3412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} = {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏})
11		issmflelem.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
12		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
13	11, 12	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
14		issmflelem.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
15		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
17	3	uniexd 7682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ V)
19	18, 5	ssexd 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
21	4, 19, 20	subsalsal 46344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
22	1, 21	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
26	1, 6	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
28	25, 27	eleqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
29	2	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
30	28, 29	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	31	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
33	26	rabeqdv 3412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
35		issmflelem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
36	34, 35	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
37	36	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
39	13, 16, 23, 24, 32, 37, 38	salpreimalelt 46714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	10, 39	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	40	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	1, 2, 41	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
43		issmflelem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
44	3, 43	issmf 46713	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
45	42, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   ↾_t crest 17342  SAlgcsalg 46293  SMblFncsmblfn 46680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fl 13714  df-rest 17344  df-salg 46294  df-smblfn 46681

This theorem is referenced by:  issmfle  46730