Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmflelem 45450
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x β„²π‘₯πœ‘
issmflelem.a β„²π‘Žπœ‘
issmflelem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmflelem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmflelem.l ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)
Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
64, 5restuni4 43800 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
81, 7mpdan 685 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
98rabeqdv 3447 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
109adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 β„²π‘₯πœ‘
12 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 β„²π‘Žπœ‘
15 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 7731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 5324 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 45065 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 685 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
261, 6mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
292ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3130rexrd 11263 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
3231adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
3326rabeqdv 3447 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž})
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3736adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
38 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 45435 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4140ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
421, 2, 413jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 45434 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
4542, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   β†Ύt crest 17365  SAlgcsalg 45014  SMblFncsmblfn 45401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-fl 13756  df-rest 17367  df-salg 45015  df-smblfn 45402
This theorem is referenced by:  issmfle  45451
  Copyright terms: Public domain W3C validator