Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflelem 41745
 Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x 𝑥𝜑
issmflelem.a 𝑎𝜑
issmflelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmflelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
64, 5restuni4 40118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 = (𝑆t 𝐷))
81, 7mpdan 678 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
98rabeqd 40092 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
109adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
12 nfv 2013 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 2002 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 2013 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 2002 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 40097 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1817adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 5032 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 41366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 678 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
25 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
261, 6mpdan 678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
292ffvelrnda 6613 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130rexrd 10413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3326rabeqd 40092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
3433adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2906 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 41730 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4140ralrimiva 3175 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
421, 2, 413jca 1162 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 41729 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4542, 44mpbird 249 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656  Ⅎwnf 1882   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∪ cuni 4660   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  ℝ*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399   ↾t crest 16441  SAlgcsalg 41317  SMblFncsmblfn 41701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-ac2 9607  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-acn 9088  df-ac 9259  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-fl 12895  df-rest 16443  df-salg 41318  df-smblfn 41702 This theorem is referenced by:  issmfle  41746
 Copyright terms: Public domain W3C validator