Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgelem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfgelem 46219
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgelem.x β„²π‘₯πœ‘
issmfgelem.a β„²π‘Žπœ‘
issmfgelem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgelem.i (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfgelem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfgelem.p (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgelem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)
Proof of Theorem issmfgelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgelem.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2 issmfgelem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
3 issmfgelem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 44551 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65rabeqdv 3435 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
76adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
8 issmfgelem.x . . . . . . 7 β„²π‘₯πœ‘
9 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgelem.a . . . . . . 7 β„²π‘Žπœ‘
12 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7744 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
16 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1715, 16ssexd 5319 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 685 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
19 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 45809 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2725 . . . . . 6 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
232adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
24 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
254adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827rexrd 11292 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2928adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
30 issmfgelem.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
315rabeqdv 3435 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
3231eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3311, 32ralbid 3261 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3534adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
36 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
37 rspa 3236 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3938adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
40 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
4110, 13, 21, 22, 29, 39, 40salpreimagelt 46157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
427, 41eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4342ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
441, 2, 433jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
45 issmfgelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
463, 45issmf 46178 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
4744, 46mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   β†Ύt crest 17399  SAlgcsalg 45758  SMblFncsmblfn 46145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-rest 17401  df-salg 45759  df-smblfn 46146
This theorem is referenced by:  issmfge  46220
  Copyright terms: Public domain W3C validator