Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgelem 41723
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgelem.x 𝑥𝜑
issmfgelem.a 𝑎𝜑
issmfgelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgelem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgelem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 40062 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2805 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqd 40035 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 2010 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1999 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 2010 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1999 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 40040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 5000 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2799 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 41320 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2799 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2880 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelrnd 6586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 10378 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 707 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
30 issmfgelem.p . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
315rabeqd 40035 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)})
3231eleq1d 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3311, 32ralbid 3164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3430, 33mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 rspa 3111 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3835, 36, 37syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938adantlr 707 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
40 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
4110, 13, 21, 22, 29, 39, 40salpreimagelt 41664 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
427, 41eqeltrd 2878 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4342ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
441, 2, 433jca 1159 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
45 issmfgelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
463, 45issmf 41683 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4744, 46mpbird 249 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wnf 1879  wcel 2157  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769   cuni 4628   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  t crest 16396  SAlgcsalg 41271  SMblFncsmblfn 41655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-rest 16398  df-salg 41272  df-smblfn 41656
This theorem is referenced by:  issmfge  41724
  Copyright terms: Public domain W3C validator