Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgelem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issmfgelem 46062
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgelem.x β„²π‘₯πœ‘
issmfgelem.a β„²π‘Žπœ‘
issmfgelem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgelem.i (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfgelem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfgelem.p (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgelem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)
Proof of Theorem issmfgelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgelem.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2 issmfgelem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
3 issmfgelem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 44390 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
65rabeqdv 3441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏})
8 issmfgelem.x . . . . . . 7 β„²π‘₯πœ‘
9 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgelem.a . . . . . . 7 β„²π‘Žπœ‘
12 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1715, 16ssexd 5317 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 684 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 45652 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2726 . . . . . 6 βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)
232adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2829 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827rexrd 11268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
2928adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
30 issmfgelem.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
315rabeqdv 3441 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)})
3231eleq1d 2812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3311, 32ralbid 3264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
36 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
37 rspa 3239 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3938adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ π‘Ž ≀ (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
40 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
4110, 13, 21, 22, 29, 39, 40salpreimagelt 46000 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
427, 41eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4342ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
441, 2, 433jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
45 issmfgelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
463, 45issmf 46021 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑏} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
4744, 46mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   β†Ύt crest 17375  SAlgcsalg 45601  SMblFncsmblfn 45988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-rest 17377  df-salg 45602  df-smblfn 45989
This theorem is referenced by:  issmfge  46063
  Copyright terms: Public domain W3C validator