Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgelem 45419
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgelem.x 𝑥𝜑
issmfgelem.a 𝑎𝜑
issmfgelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgelem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgelem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 43742 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqdv 3448 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1903 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1903 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 7726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 5322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 45009 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelcdmd 7082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 11259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
30 issmfgelem.p . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
315rabeqdv 3448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)})
3231eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3311, 32ralbid 3271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 rspa 3246 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
40 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
4110, 13, 21, 22, 29, 39, 40salpreimagelt 45357 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
427, 41eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4342ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
441, 2, 433jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
45 issmfgelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
463, 45issmf 45378 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4744, 46mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3946   cuni 4906   class class class wbr 5146  dom cdm 5674  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  cr 11104  *cxr 11242   < clt 11243  cle 11244  t crest 17361  SAlgcsalg 44958  SMblFncsmblfn 45345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-rest 17363  df-salg 44959  df-smblfn 45346
This theorem is referenced by:  issmfge  45420
  Copyright terms: Public domain W3C validator