Theorem rlimdiv 15597

Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
rlimadd.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rlimdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
3	1, 2	rlimmptrcl 15559	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimadd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		rlimadd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
6	4, 5	rlimmptrcl 15559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimdiv.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	6, 7, 9	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	fmpttd 7059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
12		rlimcl 15454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		rlimdiv.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
15		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
16	13, 14, 15	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
18		reccl 11805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	fmpttd 7059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
23	22	reccn2 15548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
24	16, 23	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 𝑣) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
29		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 𝐸) ∈ V
31	29, 26, 30	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
32	16, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
33	28, 32	oveqan12rd 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
34	33	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
35	34	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
37	36	ralbidva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
38	37	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
39	38	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
40	24, 39	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
41	11, 16, 5, 21, 40	rlimcn1 15539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
42		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
43		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
45	10, 42, 43, 44	fmptco 7074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
46	41, 45, 32	3brtr3d 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
47	3, 8, 2, 46	rlimmul 15596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
48	3, 6, 7	divrecd 11923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
50		rlimcl 15454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
51	2, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	51, 13, 14	divrecd 11923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
53	47, 49, 52	3brtr4d 5118	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ℝ⁺crp 12931  abscabs 15185   ⇝_𝑟 crli 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rlim 15440

This theorem is referenced by:  logexprlim  27207  chebbnd2  27459  chto1lb  27460  pnt2  27595  pnt  27596