MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 15357
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15317 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15317 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 11744 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 eldifsn 4720 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
106, 7, 9sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1110fmpttd 6989 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
12 rlimcl 15212 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
14 rlimdiv.7 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ≠ 0)
15 eldifsn 4720 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
1613, 14, 15sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17 eldifsn 4720 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
18 reccl 11640 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2120fmpttd 6989 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
22 eqid 2738 . . . . . . . 8 (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
2322reccn2 15306 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2416, 23sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
29 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3129, 26, 30fvmpt 6875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3328, 32oveqan12rd 7295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
3433fveq2d 6778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
3534breq1d 5084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3635imbi2d 341 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3736ralbidva 3111 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837rexbidv 3226 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4024, 39syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4111, 16, 5, 21, 40rlimcn1 15297 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
42 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
43 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
4510, 42, 43, 44fmptco 7001 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
4641, 45, 323brtr3d 5105 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
473, 8, 2, 46rlimmul 15355 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
483, 6, 7divrecd 11754 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 5174 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
50 rlimcl 15212 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
512, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5251, 13, 14divrecd 11754 . 2 (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
5347, 49, 523brtr4d 5106 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ccom 5593  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730  abscabs 14945  𝑟 crli 15194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-rlim 15198
This theorem is referenced by:  logexprlim  26373  chebbnd2  26625  chto1lb  26626  pnt2  26761  pnt  26762
  Copyright terms: Public domain W3C validator