MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 15678
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15640 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15640 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 12033 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
106, 7, 9sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1110fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
12 rlimcl 15535 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
14 rlimdiv.7 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ≠ 0)
15 eldifsn 4790 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
1613, 14, 15sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
18 reccl 11926 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2120fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
22 eqid 2734 . . . . . . . 8 (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
2322reccn2 15629 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2416, 23sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
29 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3129, 26, 30fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3328, 32oveqan12rd 7450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
3433fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
3534breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3635imbi2d 340 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3736ralbidva 3173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938biimpar 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4024, 39syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4111, 16, 5, 21, 40rlimcn1 15620 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
42 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
43 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
4510, 42, 43, 44fmptco 7148 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
4641, 45, 323brtr3d 5178 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
473, 8, 2, 46rlimmul 15677 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
483, 6, 7divrecd 12043 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 5247 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
50 rlimcl 15535 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
512, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5251, 13, 14divrecd 12043 . 2 (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
5347, 49, 523brtr4d 5179 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  +crp 13031  abscabs 15269  𝑟 crli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rlim 15521
This theorem is referenced by:  logexprlim  27283  chebbnd2  27535  chto1lb  27536  pnt2  27671  pnt  27672
  Copyright terms: Public domain W3C validator