MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 15592
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rlimadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
rlimadd.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
rlimdiv.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
rlimdiv.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑀 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15552 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15552 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
86, 7reccld 11983 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 / 𝐢) ∈ β„‚)
9 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 β‰  0))
106, 7, 9sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1110fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
12 rlimcl 15447 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
14 rlimdiv.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
15 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
1613, 14, 15sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
17 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
18 reccl 11879 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
2019adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
2120fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (if(1 ≀ ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧), 1, ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧)) Β· ((absβ€˜πΈ) / 2)) = (if(1 ≀ ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧), 1, ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧)) Β· ((absβ€˜πΈ) / 2))
2322reccn2 15541 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2416, 23sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) = (1 / 𝑣))
29 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3129, 26, 30fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ) = (1 / 𝐸))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ) = (1 / 𝐸))
3328, 32oveqan12rd 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ)) = ((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸)))
3433fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) = (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))))
3534breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3635imbi2d 341 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3736ralbidva 3176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837rexbidv 3179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧))
4024, 39syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧))
4111, 16, 5, 21, 40rlimcn1 15532 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)) β‡π‘Ÿ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))
42 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
43 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝐢))
4510, 42, 43, 44fmptco 7127 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐢)))
4641, 45, 323brtr3d 5180 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (1 / 𝐸))
473, 8, 2, 46rlimmul 15590 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (1 / 𝐢))) β‡π‘Ÿ (𝐷 Β· (1 / 𝐸)))
483, 6, 7divrecd 11993 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 / 𝐢) = (𝐡 Β· (1 / 𝐢)))
4948mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (1 / 𝐢))))
50 rlimcl 15447 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
512, 50syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5251, 13, 14divrecd 11993 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 Β· (1 / 𝐸)))
5347, 49, 523brtr4d 5181 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  logexprlim  26728  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  pnt2  27116  pnt  27117
  Copyright terms: Public domain W3C validator