Theorem rlimdiv 15548

Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
rlimadd.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rlimdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
3	1, 2	rlimmptrcl 15510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimadd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		rlimadd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
6	4, 5	rlimmptrcl 15510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimdiv.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		eldifsn 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	6, 7, 9	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	fmpttd 7043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
12		rlimcl 15405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		rlimdiv.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
15		eldifsn 4733	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
16	13, 14, 15	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
18		reccl 11778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	fmpttd 7043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
22		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
23	22	reccn2 15499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
24	16, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 𝑣) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
29		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 𝐸) ∈ V
31	29, 26, 30	fvmpt 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
32	16, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
33	28, 32	oveqan12rd 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
34	33	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
35	34	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
37	36	ralbidva 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
38	37	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
39	38	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
40	24, 39	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
41	11, 16, 5, 21, 40	rlimcn1 15490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
42		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
43		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
45	10, 42, 43, 44	fmptco 7057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
46	41, 45, 32	3brtr3d 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
47	3, 8, 2, 46	rlimmul 15547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
48	3, 6, 7	divrecd 11895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
50		rlimcl 15405	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
51	2, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	51, 13, 14	divrecd 11895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
53	47, 49, 52	3brtr4d 5118	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894  ifcif 4470  {csn 4571   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  ℝ⁺crp 12885  abscabs 15136   ⇝_𝑟 crli 15387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-rlim 15391

This theorem is referenced by:  logexprlim  27158  chebbnd2  27410  chto1lb  27411  pnt2  27546  pnt  27547