MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 15536
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rlimadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
rlimadd.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
rlimdiv.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
rlimdiv.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑀 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15496 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
86, 7reccld 11929 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 / 𝐢) ∈ β„‚)
9 eldifsn 4748 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 β‰  0))
106, 7, 9sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1110fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
12 rlimcl 15391 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
14 rlimdiv.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
15 eldifsn 4748 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
1613, 14, 15sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
17 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
18 reccl 11825 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
2019adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
2120fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (if(1 ≀ ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧), 1, ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧)) Β· ((absβ€˜πΈ) / 2)) = (if(1 ≀ ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧), 1, ((absβ€˜πΈ) Β· 𝑧)) Β· ((absβ€˜πΈ) / 2))
2322reccn2 15485 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2416, 23sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) = (1 / 𝑣))
29 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3129, 26, 30fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ) = (1 / 𝐸))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ) = (1 / 𝐸))
3328, 32oveqan12rd 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ)) = ((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸)))
3433fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) = (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))))
3534breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3635imbi2d 341 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3736ralbidva 3169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837rexbidv 3172 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑣) βˆ’ (1 / 𝐸))) < 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧))
4024, 39syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜π‘£) βˆ’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))) < 𝑧))
4111, 16, 5, 21, 40rlimcn1 15476 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)) β‡π‘Ÿ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))β€˜πΈ))
42 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
43 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (1 / 𝑦) = (1 / 𝐢))
4510, 42, 43, 44fmptco 7076 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐢)))
4641, 45, 323brtr3d 5137 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (1 / 𝐸))
473, 8, 2, 46rlimmul 15534 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (1 / 𝐢))) β‡π‘Ÿ (𝐷 Β· (1 / 𝐸)))
483, 6, 7divrecd 11939 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 / 𝐢) = (𝐡 Β· (1 / 𝐢)))
4948mpteq2dva 5206 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (1 / 𝐢))))
50 rlimcl 15391 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
512, 50syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5251, 13, 14divrecd 11939 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 Β· (1 / 𝐸)))
5347, 49, 523brtr4d 5138 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  β„+crp 12920  abscabs 15125   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  logexprlim  26589  chebbnd2  26841  chto1lb  26842  pnt2  26977  pnt  26978
  Copyright terms: Public domain W3C validator