Theorem rlimdiv 15693

Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
rlimadd.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rlimdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
3	1, 2	rlimmptrcl 15655	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimadd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		rlimadd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
6	4, 5	rlimmptrcl 15655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimdiv.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9		eldifsn 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	6, 7, 9	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	fmpttd 7108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
12		rlimcl 15550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	5, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		rlimdiv.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
15		eldifsn 4755	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
16	13, 14, 15	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
18		reccl 11875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	fmpttd 7108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
22		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
23	22	reccn2 15644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
24	16, 23	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
25		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
26		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
27		ovex 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 𝑣) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
29		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
30		ovex 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 𝐸) ∈ V
31	29, 26, 30	fvmpt 6987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
32	16, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
33	28, 32	oveqan12rd 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
34	33	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
35	34	breq1d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
36	35	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
37	36	ralbidva 3192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
38	37	rexbidv 3195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
39	38	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
40	24, 39	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
41	11, 16, 5, 21, 40	rlimcn1 15635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
42		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
43		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
44		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
45	10, 42, 43, 44	fmptco 7123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
46	41, 45, 32	3brtr3d 5143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
47	3, 8, 2, 46	rlimmul 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
48	3, 6, 7	divrecd 11990	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
50		rlimcl 15550	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
51	2, 50	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	51, 13, 14	divrecd 11990	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
53	47, 49, 52	3brtr4d 5144	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  2c2 12291  ℝ⁺crp 13012  abscabs 15281   ⇝_𝑟 crli 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-rlim 15536

This theorem is referenced by:  logexprlim  27351  chebbnd2  27603  chto1lb  27604  pnt2  27739  pnt  27740