MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2 15440
Description: Rewrite rlim 15439 for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
rlim2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
rlim2.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
rlim2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐡(𝑧)

Proof of Theorem rlim2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
2 eqid 2733 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
32fmpt 7110 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
41, 3sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
5 rlim2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€))
74, 5, 6rlim 15439 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
8 rlim2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
98biantrurd 534 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
10 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧 𝑦 ≀ 𝑀
11 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧abs
12 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€)
13 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧 βˆ’
14 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧𝐢
1512, 13, 14nfov 7439 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)
1611, 15nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧(absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢))
17 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 <
18 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧π‘₯
1916, 17, 18nfbr 5196 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯
2010, 19nfim 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑧(𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)
21 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑀(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)
22 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑦 ≀ 𝑀 ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
2322imbrov2fvoveq 7434 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2420, 21, 23cbvralw 3304 . . . . 5 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))
252fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = 𝐡)
2625fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)))
2726breq1d 5159 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))
2827imbi2d 341 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2928ralimiaa 3083 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
30 ralbi 3104 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
311, 29, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
3224, 31bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
3332rexbidv 3179 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
3433ralbidv 3178 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘€) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
357, 9, 343bitr2d 307 1 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  rlim2lt  15441  rlim3  15442  rlim0  15452  rlimi  15457  rlimconst  15488  climrlim2  15491  rlimcn1  15532  rlimcn3  15534  chtppilim  26978  pntlem3  27112
  Copyright terms: Public domain W3C validator