Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1compt 14939
 Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
o1compt.2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1compt.3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
o1compt.4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
o1compt.5 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
Assertion
Ref Expression
o1compt (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 o1compt.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
3 o1compt.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
43fmpttd 6857 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵𝐶):𝐵𝐴)
5 o1compt.4 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
6 o1compt.5 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
7 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝑧
8 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑦𝑚
9 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑦
10 nffvmpt1 6657 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
118, 9, 10nfbr 5078 . . . . . . . 8 𝑦 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
127, 11nfim 1897 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧))
13 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑧(𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
14 breq2 5035 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
15 fveq2 6646 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
1615breq2d 5043 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
1714, 16imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))))
1812, 13, 17cbvralw 3387 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
19 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
20 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵𝐶) = (𝑦𝐵𝐶)
2120fvmpt2 6757 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐵𝐶𝐴) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2219, 3, 21syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322breq2d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑚𝐶))
2423imbi2d 344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2524ralbidva 3161 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2618, 25syl5bb 286 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2726rexbidv 3256 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2827adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
296, 28mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)))
301, 2, 4, 5, 29o1co 14938 1 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  ℂcc 10527  ℝcr 10528   ≤ cle 10668  𝑂(1)co1 14838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-er 8275  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ico 12735  df-o1 14842 This theorem is referenced by:  dchrisum0  26114
 Copyright terms: Public domain W3C validator