MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1compt 15555
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
o1compt.2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1compt.3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
o1compt.4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
o1compt.5 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
Assertion
Ref Expression
o1compt (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 o1compt.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
3 o1compt.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
43fmpttd 7119 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵𝐶):𝐵𝐴)
5 o1compt.4 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
6 o1compt.5 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
7 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝑧
8 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑦𝑚
9 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑦
10 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
118, 9, 10nfbr 5189 . . . . . . . 8 𝑦 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
127, 11nfim 1892 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧))
13 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑧(𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
14 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
1615breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))))
1812, 13, 17cbvralw 3298 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
20 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵𝐶) = (𝑦𝐵𝐶)
2120fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐵𝐶𝐴) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2219, 3, 21syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322breq2d 5154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑚𝐶))
2423imbi2d 340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2524ralbidva 3170 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2618, 25bitrid 283 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2726rexbidv 3173 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2827adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
296, 28mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)))
301, 2, 4, 5, 29o1co 15554 1 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  wss 3944   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ccom 5676  wf 6538  cfv 6542  cc 11128  cr 11129  cle 11271  𝑂(1)co1 15454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ico 13354  df-o1 15458
This theorem is referenced by:  dchrisum0  27440
  Copyright terms: Public domain W3C validator