MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1compt 15620
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
o1compt.2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1compt.3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
o1compt.4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
o1compt.5 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
Assertion
Ref Expression
o1compt (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 o1compt.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝑂(1))
3 o1compt.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐶𝐴)
43fmpttd 7135 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵𝐶):𝐵𝐴)
5 o1compt.4 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
6 o1compt.5 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶))
7 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝑧
8 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦𝑚
9 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦
10 nffvmpt1 6918 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
118, 9, 10nfbr 5195 . . . . . . . 8 𝑦 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)
127, 11nfim 1894 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧))
13 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑧(𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
14 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
15 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))
1615breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦))))
1812, 13, 17cbvralw 3304 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)))
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
20 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵𝐶) = (𝑦𝐵𝐶)
2120fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐵𝐶𝐴) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2219, 3, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) = 𝐶)
2322breq2d 5160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑚𝐶))
2423imbi2d 340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2524ralbidva 3174 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2618, 25bitrid 283 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2726rexbidv 3177 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
2827adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑚𝐶)))
296, 28mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑚 ≤ ((𝑦𝐵𝐶)‘𝑧)))
301, 2, 4, 5, 29o1co 15619 1 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  cle 11294  𝑂(1)co1 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-o1 15523
This theorem is referenced by:  dchrisum0  27579
  Copyright terms: Public domain W3C validator