Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | o1compt.1 |
. 2
β’ (π β πΉ:π΄βΆβ) |
2 | | o1compt.2 |
. 2
β’ (π β πΉ β π(1)) |
3 | | o1compt.3 |
. . 3
β’ ((π β§ π¦ β π΅) β πΆ β π΄) |
4 | 3 | fmpttd 7064 |
. 2
β’ (π β (π¦ β π΅ β¦ πΆ):π΅βΆπ΄) |
5 | | o1compt.4 |
. 2
β’ (π β π΅ β β) |
6 | | o1compt.5 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β) β βπ₯ β β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ)) |
7 | | nfv 1918 |
. . . . . . . 8
β’
β²π¦ π₯ β€ π§ |
8 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π¦π |
9 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π¦
β€ |
10 | | nffvmpt1 6854 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π¦((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§) |
11 | 8, 9, 10 | nfbr 5153 |
. . . . . . . 8
β’
β²π¦ π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§) |
12 | 7, 11 | nfim 1900 |
. . . . . . 7
β’
β²π¦(π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) |
13 | | nfv 1918 |
. . . . . . 7
β’
β²π§(π₯ β€ π¦ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦)) |
14 | | breq2 5110 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = π¦ β (π₯ β€ π§ β π₯ β€ π¦)) |
15 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π¦ β ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§) = ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦)) |
16 | 15 | breq2d 5118 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = π¦ β (π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§) β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦))) |
17 | 14, 16 | imbi12d 345 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = π¦ β ((π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) β (π₯ β€ π¦ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦)))) |
18 | 12, 13, 17 | cbvralw 3288 |
. . . . . 6
β’
(βπ§ β
π΅ (π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦))) |
19 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π¦ β π΅) β π¦ β π΅) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ β π΅ β¦ πΆ) = (π¦ β π΅ β¦ πΆ) |
21 | 20 | fvmpt2 6960 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π¦ β π΅ β§ πΆ β π΄) β ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦) = πΆ) |
22 | 19, 3, 21 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π¦ β π΅) β ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦) = πΆ) |
23 | 22 | breq2d 5118 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π¦ β π΅) β (π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦) β π β€ πΆ)) |
24 | 23 | imbi2d 341 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π¦ β π΅) β ((π₯ β€ π¦ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦)) β (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ))) |
25 | 24 | ralbidva 3169 |
. . . . . 6
β’ (π β (βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ¦)) β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ))) |
26 | 18, 25 | bitrid 283 |
. . . . 5
β’ (π β (βπ§ β π΅ (π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ))) |
27 | 26 | rexbidv 3172 |
. . . 4
β’ (π β (βπ₯ β β βπ§ β π΅ (π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) β βπ₯ β β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ))) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β) β (βπ₯ β β βπ§ β π΅ (π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§)) β βπ₯ β β βπ¦ β π΅ (π₯ β€ π¦ β π β€ πΆ))) |
29 | 6, 28 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((π β§ π β β) β βπ₯ β β βπ§ β π΅ (π₯ β€ π§ β π β€ ((π¦ β π΅ β¦ πΆ)βπ§))) |
30 | 1, 2, 4, 5, 29 | o1co 15474 |
1
β’ (π β (πΉ β (π¦ β π΅ β¦ πΆ)) β π(1)) |