MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1compt 15475
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
o1compt.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1compt.3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
o1compt.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
o1compt.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢))
Assertion
Ref Expression
o1compt (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘š,π‘₯   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 o1compt.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
3 o1compt.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
43fmpttd 7064 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):𝐡⟢𝐴)
5 o1compt.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
6 o1compt.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢))
7 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘₯ ≀ 𝑧
8 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦π‘š
9 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 ≀
10 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
118, 9, 10nfbr 5153 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
127, 11nfim 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
13 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
14 breq2 5110 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
15 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
1615breq2d 5118 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ↔ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)))
1714, 16imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))))
1812, 13, 17cbvralw 3288 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)))
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
2120fvmpt2 6960 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2219, 3, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2322breq2d 5118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) ↔ π‘š ≀ 𝐢))
2423imbi2d 341 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2524ralbidva 3169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2618, 25bitrid 283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2726rexbidv 3172 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2827adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
296, 28mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)))
301, 2, 4, 5, 29o1co 15474 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„‚cc 11054  β„cr 11055   ≀ cle 11195  π‘‚(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  dchrisum0  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator