MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1compt 15571
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
o1compt.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1compt.3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
o1compt.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
o1compt.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢))
Assertion
Ref Expression
o1compt (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘š,π‘₯   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 o1compt.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
3 o1compt.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
43fmpttd 7130 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):𝐡⟢𝐴)
5 o1compt.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
6 o1compt.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢))
7 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘₯ ≀ 𝑧
8 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘¦π‘š
9 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 ≀
10 nffvmpt1 6913 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
118, 9, 10nfbr 5199 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦 π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
127, 11nfim 1891 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
13 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
14 breq2 5156 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
15 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))
1615breq2d 5164 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ↔ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)))
1714, 16imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦))))
1812, 13, 17cbvralw 3301 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)))
19 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
20 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
2120fvmpt2 7021 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2219, 3, 21syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) = 𝐢)
2322breq2d 5164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦) ↔ π‘š ≀ 𝐢))
2423imbi2d 339 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2524ralbidva 3173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2618, 25bitrid 282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2726rexbidv 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
2827adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ 𝐢)))
296, 28mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ π‘š ≀ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)))
301, 2, 4, 5, 29o1co 15570 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„‚cc 11144  β„cr 11145   ≀ cle 11287  π‘‚(1)co1 15470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ico 13370  df-o1 15474
This theorem is referenced by:  dchrisum0  27473
  Copyright terms: Public domain W3C validator