Theorem rlimuni 15603

Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
rlimuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimuni	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimuni.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
2		rlimcl 15556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rlimuni.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	ltnrd 11345	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
12		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14, 4	abssubd 15509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))))
16	15	breq1d 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
17	16	anbi1d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
18		abs3lem 15392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
19	4, 8, 14, 10, 18	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	17, 19	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
21	20	imim2d 58	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
22	21	impcomd 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
23	11, 22	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
24	23	nrexdv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
25		r19.29r 3129	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
26	24, 25	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
27	26	nrexdv 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
28		rlimuni.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29	12	fdmd 6718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
30		rlimss 15555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
32	29, 31	eqsstrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
33		ressxr 11254	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstrdi 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
35		supxrunb1 13346	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
37	28, 36	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘)
38		r19.29 3128	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
39	38	ex 417	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
40	37, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
41	27, 40	mtod 201	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
42	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		ffvelcdm 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	42, 44	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
48	46, 47	subcld 11570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
49		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	46, 47, 49	subne0d 11579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
51	48, 50	absrpcld 15504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ+)
52	51	rphalfcld 13073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
53	42	feqmptd 6951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
54	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
55	53, 54	eqbrtrrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
56	45, 52, 55	rlimi 15566	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
57	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
58	53, 57	eqbrtrrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
59	45, 52, 58	rlimi 15566	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
60	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
61		rexanre 15400	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
62	60, 61	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
63	56, 59, 62	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
64	63	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
65	64	necon1bd 2976	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
66	41, 65	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  supcsup 9401  ℂcc 11099  ℝcr 11100  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  abscabs 15287   ⇝_𝑟 crli 15538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-rlim 15542

This theorem is referenced by:  rlimdm  15604  rlimdmafv  47891  rlimdmafv2  47972