Theorem rlimuni 14899

Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
rlimuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimuni	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimuni.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
2		rlimcl 14852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rlimuni.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 14852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 14788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	ltnrd 10763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
12		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	12	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14, 4	abssubd 14805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))))
16	15	breq1d 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
17	16	anbi1d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
18		abs3lem 14690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
19	4, 8, 14, 10, 18	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	17, 19	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
21	20	imim2d 57	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
22	21	impcomd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
23	11, 22	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
24	23	nrexdv 3229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
25		r19.29r 3217	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
26	24, 25	nsyl 142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
27	26	nrexdv 3229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
28		rlimuni.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29	12	fdmd 6497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
30		rlimss 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
32	29, 31	eqsstrrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
33		ressxr 10674	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstrdi 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
35		supxrunb1 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
37	28, 36	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘)
38		r19.29 3216	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
39	38	ex 416	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
40	37, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
41	27, 40	mtod 201	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
42	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		ffvelrn 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	ralrimiva 3149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
48	46, 47	subcld 10986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
49		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	46, 47, 49	subne0d 10995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
51	48, 50	absrpcld 14800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ+)
52	51	rphalfcld 12431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
53	42	feqmptd 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
54	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
55	53, 54	eqbrtrrd 5054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
56	45, 52, 55	rlimi 14862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
57	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
58	53, 57	eqbrtrrd 5054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
59	45, 52, 58	rlimi 14862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
60	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
61		rexanre 14698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
63	56, 59, 62	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
64	63	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
65	64	necon1bd 3005	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
66	41, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℂcc 10524  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  abscabs 14585   ⇝_𝑟 crli 14834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-rlim 14838

This theorem is referenced by:  rlimdm  14900  rlimdmafv  43733  rlimdmafv2  43814