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Theorem rlimuni 14886
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
rlimuni.4 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimuni (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
2 rlimcl 14839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐵𝐵 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
94, 8subcld 10974 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
109abscld 14775 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1110ltnrd 10751 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1312ffvelrnda 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514, 4abssubd 14792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))))
1615breq1d 5049 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
1716anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
18 abs3lem 14677 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2017, 19sylbid 243 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2120imim2d 57 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → (𝑗𝑘 → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))))
2221impcomd 415 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2311, 22mtod 201 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2423nrexdv 3256 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
25 r19.29r 3243 . . . . 5 ((∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2624, 25nsyl 142 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2726nrexdv 3256 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
28 rlimuni.2 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2912fdmd 6496 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
30 rlimss 14838 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
311, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3229, 31eqsstrrd 3982 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
33 ressxr 10662 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstrdi 3955 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
35 supxrunb1 12690 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3728, 36mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘)
38 r19.29 3242 . . . . 5 ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
3938ex 416 . . . 4 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4037, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4127, 40mtod 201 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
4212adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43 ffvelrn 6822 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4443ralrimiva 3170 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4542, 44syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
463adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
477adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
4846, 47subcld 10974 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
49 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5046, 47, 49subne0d 10983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
5148, 50absrpcld 14787 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ+)
5251rphalfcld 12421 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
5342feqmptd 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
541adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐵)
5553, 54eqbrtrrd 5063 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
5645, 52, 55rlimi 14849 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
575adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐶)
5853, 57eqbrtrrd 5063 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
5945, 52, 58rlimi 14849 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
6032adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
61 rexanre 14685 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6260, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6356, 59, 62mpbir2and 712 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
6463ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6564necon1bd 3025 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
6641, 65mpd 15 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  wss 3910   class class class wbr 5039  cmpt 5119  dom cdm 5528  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  supcsup 8880  cc 10512  cr 10513  +∞cpnf 10649  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  abscabs 14572  𝑟 crli 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-rlim 14825
This theorem is referenced by:  rlimdm  14887  rlimdmafv  43524  rlimdmafv2  43605
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