Theorem rlimuni 15485

Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
rlimuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimuni	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimuni.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
2		rlimcl 15438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rlimuni.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	ltnrd 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
12		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14, 4	abssubd 15391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))))
16	15	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
17	16	anbi1d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
18		abs3lem 15274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
19	4, 8, 14, 10, 18	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	17, 19	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
21	20	imim2d 57	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
22	21	impcomd 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
23	11, 22	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
24	23	nrexdv 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
25		r19.29r 3102	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
26	24, 25	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
27	26	nrexdv 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
28		rlimuni.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29	12	fdmd 6680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
30		rlimss 15437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
32	29, 31	eqsstrrd 3971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
33		ressxr 11188	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
35		supxrunb1 13246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
37	28, 36	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘)
38		r19.29 3101	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
39	38	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
40	37, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
41	27, 40	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
42	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		ffvelcdm 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
48	46, 47	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
49		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	46, 47, 49	subne0d 11513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
51	48, 50	absrpcld 15386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ+)
52	51	rphalfcld 12973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
53	42	feqmptd 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
54	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
55	53, 54	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
56	45, 52, 55	rlimi 15448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
57	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
58	53, 57	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
59	45, 52, 58	rlimi 15448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
60	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
61		rexanre 15282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
63	56, 59, 62	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
65	64	necon1bd 2951	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
66	41, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  ℂcc 11036  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  abscabs 15169   ⇝_𝑟 crli 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-rlim 15424

This theorem is referenced by:  rlimdm  15486  rlimdmafv  47531  rlimdmafv2  47612