Theorem rlimuni 15586

Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
rlimuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimuni	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimuni.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
2		rlimcl 15539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rlimuni.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	4, 8	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	ltnrd 11395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
12		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14, 4	abssubd 15492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))))
16	15	breq1d 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
17	16	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
18		abs3lem 15377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
19	4, 8, 14, 10, 18	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	17, 19	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
21	20	imim2d 57	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
22	21	impcomd 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
23	11, 22	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
24	23	nrexdv 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
25		r19.29r 3116	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 ∧ (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
26	24, 25	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
27	26	nrexdv 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
28		rlimuni.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29	12	fdmd 6746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
30		rlimss 15538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
32	29, 31	eqsstrrd 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
33		ressxr 11305	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstrdi 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
35		supxrunb1 13361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
37	28, 36	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘)
38		r19.29 3114	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
39	38	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
40	37, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))))
41	27, 40	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
42	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
46	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
48	46, 47	subcld 11620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
49		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
50	46, 47, 49	subne0d 11629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
51	48, 50	absrpcld 15487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ+)
52	51	rphalfcld 13089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
53	42	feqmptd 6977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
54	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐵)
55	53, 54	eqbrtrrd 5167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
56	45, 52, 55	rlimi 15549	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
57	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐶)
58	53, 57	eqbrtrrd 5167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
59	45, 52, 58	rlimi 15549	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))
60	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
61		rexanre 15385	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
63	56, 59, 62	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))))
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2)))))
65	64	necon1bd 2958	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
66	41, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  abscabs 15273   ⇝_𝑟 crli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rlim 15525

This theorem is referenced by:  rlimdm  15587  rlimdmafv  47189  rlimdmafv2  47270