MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimuni 15494
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimuni.2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐡)
rlimuni.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimuni (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐢)

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐡)
2 rlimcl 15447 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐡 β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐢)
6 rlimcl 15447 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
94, 8subcld 11571 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
109abscld 15383 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
1110ltnrd 11348 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)))
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1312ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514, 4abssubd 15400 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))))
1615breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ↔ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))
1716anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) ↔ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))))
18 abs3lem 15285 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(𝐡 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢))))
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(𝐡 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢))))
2017, 19sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢))))
2120imim2d 57 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)))))
2221impcomd 413 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢))))
2311, 22mtod 197 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
2423nrexdv 3150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
25 r19.29r 3117 . . . . 5 ((βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ ∧ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
2624, 25nsyl 140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ Β¬ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
2726nrexdv 3150 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
28 rlimuni.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2912fdmd 6729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
30 rlimss 15446 . . . . . . . . 9 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐡 β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
311, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
3229, 31eqsstrrd 4022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
33 ressxr 11258 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3432, 33sstrdi 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
35 supxrunb1 13298 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3728, 36mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜)
38 r19.29 3115 . . . . 5 ((βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
3938ex 414 . . . 4 (βˆ€π‘— ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))))))
4037, 39syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 𝑗 ≀ π‘˜ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))))))
4127, 40mtod 197 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))))
4212adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
43 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4443ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4542, 44syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
463adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
477adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4846, 47subcld 11571 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
49 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
5046, 47, 49subne0d 11580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5148, 50absrpcld 15395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ+)
5251rphalfcld 13028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∈ ℝ+)
5342feqmptd 6961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
541adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐡)
5553, 54eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐡)
5645, 52, 55rlimi 15457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))
575adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐢)
5853, 57eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐢)
5945, 52, 58rlimi 15457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))
6032adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
61 rexanre 15293 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
6260, 61syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
6356, 59, 62mpbir2and 712 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))))
6463ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰  𝐢 β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2)))))
6564necon1bd 2959 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐡)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐢)) < ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) / 2))) β†’ 𝐡 = 𝐢))
6641, 65mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  rlimdm  15495  rlimdmafv  45885  rlimdmafv2  45966
  Copyright terms: Public domain W3C validator