MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rlimeq 15546
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimeq.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
rlimeq.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
rlimeq.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimeq (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem rlimeq
StepHypRef Expression
1 rlimss 15479 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3 rlimeq.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42, 3dmmptd 6700 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
54sseq1d 4011 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
61, 5imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
7 rlimss 15479 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ)
8 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9 rlimeq.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
108, 9dmmptd 6700 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = 𝐴)
1110sseq1d 4011 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
127, 11imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1715simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞))
18 rlimeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 13455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2120biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2217, 21syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2322simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
2416, 23jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
25 rlimeq.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2624, 25syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
28 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴
29 resmpt 6041 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡)
31 resmpt 6041 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢)
3327, 30, 323eqtr4g 2793 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5998 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5998 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 4002 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝐴
38 resmpt 6041 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
39 reseq1 5979 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 6041 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
42 reseq1 5979 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4544breq1d 5158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
4645adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
473fmpttd 7125 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
4847adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
49 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5018adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50rlimresb 15542 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
529fmpttd 7125 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5352adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5453, 49, 50rlimresb 15542 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5546, 51, 543bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5655ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)))
576, 12, 56pm5.21ndd 379 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  +∞cpnf 11276   ≀ cle 11280  [,)cico 13359   β‡π‘Ÿ crli 15462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ico 13363  df-rlim 15466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator