MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rlimeq 15512
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimeq.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
rlimeq.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
rlimeq.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimeq (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem rlimeq
StepHypRef Expression
1 rlimss 15445 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
2 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3 rlimeq.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42, 3dmmptd 6695 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
54sseq1d 4013 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
61, 5imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
7 rlimss 15445 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ)
8 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9 rlimeq.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
108, 9dmmptd 6695 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = 𝐴)
1110sseq1d 4013 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
127, 11imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1715simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞))
18 rlimeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2120biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2217, 21syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2322simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
2416, 23jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
25 rlimeq.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2624, 25syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
28 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴
29 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡)
31 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢)
3327, 30, 323eqtr4g 2797 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5994 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5994 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2797 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 4004 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝐴
38 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
39 reseq1 5975 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
42 reseq1 5975 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2795 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4544breq1d 5158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
4645adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
473fmpttd 7114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
4847adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
49 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5018adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50rlimresb 15508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
529fmpttd 7114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5352adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5453, 49, 50rlimresb 15508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5546, 51, 543bitr4d 310 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5655ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)))
576, 12, 56pm5.21ndd 380 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  [,)cico 13325   β‡π‘Ÿ crli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329  df-rlim 15432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator