Theorem rlimeq 15480

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimeq.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimeq	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem rlimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimss 15413	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		rlimeq.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	dmmptd 6633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	sseq1d 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
6	1, 5	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
7		rlimss 15413	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ)
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		rlimeq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	dmmptd 6633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = 𝐴)
11	10	sseq1d 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
12	7, 11	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14		elin 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
17	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
18		rlimeq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
19		elicopnf 13349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
21	20	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
22	17, 21	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
23	22	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷 ≤ 𝑥)
24	16, 23	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
25		rlimeq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
26	24, 25	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
28		inss1 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
29		resmpt 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
31		resmpt 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
33	27, 30, 32	3eqtr4g 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34		resres 5947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35		resres 5947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
37		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
38		resmpt 5992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
39		reseq1 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
40	37, 38, 39	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
41		resmpt 5992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
42		reseq1 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
43	37, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
44	36, 40, 43	3eqtr3g 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
45	44	breq1d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
47	3	fmpttd 7056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
49		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	rlimresb 15476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
52	9	fmpttd 7056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
54	53, 49, 50	rlimresb 15476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
55	46, 51, 54	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
56	55	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)))
57	6, 12, 56	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  ⟶wf 6484  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014  +∞cpnf 11152   ≤ cle 11156  [,)cico 13251   ⇝_𝑟 crli 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-ico 13255  df-rlim 15400

This theorem is referenced by: (None)