Theorem rlimeq 15586

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimeq.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimeq	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem rlimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimss 15519	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		rlimeq.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	dmmptd 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	sseq1d 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
6	1, 5	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
7		rlimss 15519	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		rlimeq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	dmmptd 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = 𝐴)
11	10	sseq1d 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
12	7, 11	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
13		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
14	13	bilani 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
15	14	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
17		rlimeq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
18		elicopnf 13442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
20	19	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
22	21	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷 ≤ 𝑥)
23	15, 22	jca 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
24		rlimeq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
25	23, 24	syldan 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
26	25	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
27		inss1 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
28		resmpt 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
30		resmpt 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
32	26, 29, 31	3eqtr4g 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
33		resres 5974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
34		resres 5974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
36		ssid 3956	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
37		resmpt 6021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
38		reseq1 5955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
40		resmpt 6021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
41		reseq1 5955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
42	36, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
43	35, 39, 42	3eqtr3g 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
44	43	breq1d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
45	44	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
46	3	fmpttd 7090	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
47	46	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
48		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
49	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	rlimresb 15582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
51	9	fmpttd 7090	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
52	51	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
53	52, 48, 49	rlimresb 15582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
54	45, 50, 53	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
55	54	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)))
56	6, 12, 55	pm5.21ndd 381	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  +∞cpnf 11206   ≤ cle 11210  [,)cico 13344   ⇝_𝑟 crli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-ico 13348  df-rlim 15506

This theorem is referenced by: (None)