Theorem rlimeq 15510

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimeq.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimeq	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem rlimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimss 15443	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		rlimeq.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	dmmptd 6685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	sseq1d 4005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
6	1, 5	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
7		rlimss 15443	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ)
8		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		rlimeq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	dmmptd 6685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = 𝐴)
11	10	sseq1d 4005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
12	7, 11	imbitrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14		elin 3956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
15	13, 14	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
17	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
18		rlimeq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
19		elicopnf 13419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
21	20	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
22	17, 21	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
23	22	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷 ≤ 𝑥)
24	16, 23	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
25		rlimeq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
26	24, 25	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	mpteq2dva 5238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
28		inss1 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
29		resmpt 6027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
31		resmpt 6027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
33	27, 30, 32	3eqtr4g 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34		resres 5984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35		resres 5984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
37		ssid 3996	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
38		resmpt 6027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
39		reseq1 5965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
40	37, 38, 39	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
41		resmpt 6027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
42		reseq1 5965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
43	37, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
44	36, 40, 43	3eqtr3g 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
45	44	breq1d 5148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
47	3	fmpttd 7106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
49		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	rlimresb 15506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
52	9	fmpttd 7106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
54	53, 49, 50	rlimresb 15506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
55	46, 51, 54	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
56	55	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)))
57	6, 12, 56	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  ⟶wf 6529  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  ℝcr 11105  +∞cpnf 11242   ≤ cle 11246  [,)cico 13323   ⇝_𝑟 crli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ico 13327  df-rlim 15430

This theorem is referenced by: (None)