MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rlimeq 15515
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimeq.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
rlimeq.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
rlimeq.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimeq (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem rlimeq
StepHypRef Expression
1 rlimss 15448 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
2 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3 rlimeq.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
42, 3dmmptd 6686 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
54sseq1d 4006 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
61, 5imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
7 rlimss 15448 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ)
8 eqid 2724 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9 rlimeq.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
108, 9dmmptd 6686 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = 𝐴)
1110sseq1d 4006 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
127, 11imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1715simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞))
18 rlimeq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 13423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2120biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2217, 21syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2322simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
2416, 23jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
25 rlimeq.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2624, 25syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2726mpteq2dva 5239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
28 inss1 4221 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴
29 resmpt 6028 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡)
31 resmpt 6028 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢)
3327, 30, 323eqtr4g 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5985 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5985 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 3997 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝐴
38 resmpt 6028 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
39 reseq1 5966 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 6028 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
42 reseq1 5966 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2787 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4544breq1d 5149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
4645adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
473fmpttd 7107 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
4847adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
49 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5018adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50rlimresb 15511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
529fmpttd 7107 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5352adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
5453, 49, 50rlimresb 15511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5546, 51, 543bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
5655ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)))
576, 12, 56pm5.21ndd 379 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667   β†Ύ cres 5669  βŸΆwf 6530  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  [,)cico 13327   β‡π‘Ÿ crli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13331  df-rlim 15435
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator