MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcld2 15564
Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
rlimcld2.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimcld2 (𝜑𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
21ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
32adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6 rlimcl 15489 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
97, 8eldifd 3960 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10 rlimcld2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1110ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13 nfcsb1v 3919 . . . . . 6 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅
1413nfel1 2916 . . . . 5 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+
15 csbeq1a 3908 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶 / 𝑦𝑅)
1615eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
1714, 16rspc 3599 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
189, 12, 17sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
193, 18, 5rlimi 15499 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
2018ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 13058 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ)
22 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
241ad4ant14 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
2523, 24sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
267ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2725, 26subcld 11611 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
2827abscld 15425 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
29 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3029ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3130ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3231adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
33 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐷
34 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
35 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘(𝑧𝐶))
3613, 34, 35nfbr 5199 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
3733, 36nfralw 3306 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
38 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝐶))
3938fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑧𝐶)))
4015, 39breq12d 5165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4140ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4237, 41rspc 3599 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
439, 32, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
4443ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
45 fvoveq1 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝐶)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4645breq2d 5164 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4746rspcv 3607 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4824, 44, 47sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4921, 28, 48lensymd 11405 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
50 id 22 . . . . . . 7 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5150imp 405 . . . . . 6 (((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
5249, 51nsyl 140 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
5352nrexdv 3146 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
54 rlimcld2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
5655, 1dmmptd 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
57 rlimss 15488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
584, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5956, 58eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
60 ressxr 11298 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6159, 60sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
62 supxrunb1 13340 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6454, 63mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6564adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6665r19.21bi 3246 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
67 r19.29 3111 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
6867expcom 412 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
6966, 68syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7053, 69mtod 197 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7170nrexdv 3146 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7219, 71condan 816 1 (𝜑𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  csb 3894  cdif 3946  wss 3949   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9473  cc 11146  cr 11147  +∞cpnf 11285  *cxr 11287   < clt 11288  cle 11289  cmin 11484  +crp 13016  abscabs 15223  𝑟 crli 15471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-rlim 15475
This theorem is referenced by:  rlimrege0  15565  rlimrecl  15566
  Copyright terms: Public domain W3C validator