MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcld2 14517
Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
rlimcld2.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimcld2 (𝜑𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
21ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
32adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14442 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
97, 8eldifd 3734 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10 rlimcld2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1110ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
1211adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13 nfcsb1v 3698 . . . . . 6 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅
1413nfel1 2928 . . . . 5 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+
15 csbeq1a 3691 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶 / 𝑦𝑅)
1615eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
1714, 16rspc 3454 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
189, 12, 17sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
193, 18, 5rlimi 14452 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
201adantlr 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
2120adantlr 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2322ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2423ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
2524adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
26 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐷
27 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
28 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘(𝑧𝐶))
2913, 27, 28nfbr 4833 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
3026, 29nfral 3094 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
31 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝐶))
3231fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑧𝐶)))
3315, 32breq12d 4799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
3433ralbidv 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
3530, 34rspc 3454 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
369, 25, 35sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
3736ad2antrr 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
38 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝐶)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
3938breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4039rspcv 3456 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4121, 37, 40sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4218ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
4342rpred 12075 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ)
44 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
4544ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4645, 21sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
477ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4846, 47subcld 10594 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
4948abscld 14383 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
5043, 49lenltd 10385 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)) ↔ ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5141, 50mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
52 id 22 . . . . . . 7 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5352imp 393 . . . . . 6 (((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
5451, 53nsyl 137 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
5554nrexdv 3149 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
56 rlimcld2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
57 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
5857, 1dmmptd 6164 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
59 rlimss 14441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
604, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6158, 60eqsstr3d 3789 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
62 ressxr 10285 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6361, 62syl6ss 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
64 supxrunb1 12354 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6656, 65mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6766adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6867r19.21bi 3081 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
69 r19.29 3220 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
7069expcom 398 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7168, 70syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7255, 71mtod 189 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7372nrexdv 3149 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7419, 73condan 819 1 (𝜑𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  csb 3682  cdif 3720  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cc 10136  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  +crp 12035  abscabs 14182  𝑟 crli 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  rlimrege0  14518  rlimrecl  14519
  Copyright terms: Public domain W3C validator