MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcld2 15529
Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
rlimcld2.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimcld2 (𝜑𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
21ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
32adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6 rlimcl 15454 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
97, 8eldifd 3959 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10 rlimcld2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1110ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅
1413nfel1 2918 . . . . 5 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+
15 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶 / 𝑦𝑅)
1615eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
1714, 16rspc 3600 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
189, 12, 17sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
193, 18, 5rlimi 15464 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
2018ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 13023 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ)
22 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2322ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
241ad4ant14 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
2523, 24sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
267ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2725, 26subcld 11578 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
2827abscld 15390 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
29 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3029ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3130ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
33 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐷
34 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘(𝑧𝐶))
3613, 34, 35nfbr 5195 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
3733, 36nfralw 3307 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
38 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝐶))
3938fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑧𝐶)))
4015, 39breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4140ralbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4237, 41rspc 3600 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
439, 32, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
4443ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
45 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝐶)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4645breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4746rspcv 3608 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4824, 44, 47sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4921, 28, 48lensymd 11372 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
50 id 22 . . . . . . 7 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5150imp 406 . . . . . 6 (((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
5249, 51nsyl 140 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
5352nrexdv 3148 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
54 rlimcld2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
5655, 1dmmptd 6695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
57 rlimss 15453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
584, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5956, 58eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
60 ressxr 11265 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6159, 60sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
62 supxrunb1 13305 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6454, 63mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6564adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6665r19.21bi 3247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
67 r19.29 3113 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
6867expcom 413 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
6966, 68syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7053, 69mtod 197 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7170nrexdv 3148 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7219, 71condan 815 1 (𝜑𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  csb 3893  cdif 3945  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cc 11114  cr 11115  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  +crp 12981  abscabs 15188  𝑟 crli 15436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rlim 15440
This theorem is referenced by:  rlimrege0  15530  rlimrecl  15531
  Copyright terms: Public domain W3C validator