Theorem rlimcld2 15532

Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcld2.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
rlimcld2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimcld2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcld2.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2	1	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
4		rlimcld2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
9	7, 8	eldifd 3894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10		rlimcld2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	10	ralrimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13		nfcsb1v 3855	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅
14	13	nfel1 2917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+
15		csbeq1a 3845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝑅 = ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
16	15	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
17	14, 16	rspc 3548	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+ → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
18	9, 12, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
19	3, 18, 5	rlimi 15467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
20	18	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 12978	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ)
22		rlimcld2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
23	22	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
24	1	ad4ant14 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
25	23, 24	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	25, 26	subcld 11497	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29		rlimcld2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
30	29	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
31	30	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
33		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
34		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
35		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘(𝑧 − 𝐶))
36	13, 34, 35	nfbr 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
37	33, 36	nfralw 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
38		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − 𝐶))
39	38	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
40	15, 39	breq12d 5086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
41	40	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
42	37, 41	rspc 3548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
43	9, 32, 42	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
45		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧 − 𝐶)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
46	45	breq2d 5085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
47	46	rspcv 3556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
48	24, 44, 47	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
49	21, 28, 48	lensymd 11289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
50		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
51	50	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
52	49, 51	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
53	52	nrexdv 3134	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
54		rlimcld2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
56	55, 1	dmmptd 6631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
57		rlimss 15456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	56, 58	eqsstrrd 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
60		ressxr 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
61	59, 60	sstrdi 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62		supxrunb1 13263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
64	54, 63	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
65	64	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
66	65	r19.21bi 3231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
67		r19.29 3102	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
68	67	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
69	66, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
70	53, 69	mtod 199	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
71	70	nrexdv 3134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
72	19, 71	condan 823	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ⦋csb 3831   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  supcsup 9344  ℂcc 11028  ℝcr 11029  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℝ⁺crp 12934  abscabs 15188   ⇝_𝑟 crli 15439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rlim 15443

This theorem is referenced by:  rlimrege0  15533  rlimrecl  15534