Theorem rlimcld2 15472

Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcld2.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
rlimcld2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimcld2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcld2.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2	1	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
4		rlimcld2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
9	7, 8	eldifd 3924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10		rlimcld2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	10	ralrimiva 3139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13		nfcsb1v 3883	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅
14	13	nfel1 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+
15		csbeq1a 3872	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝑅 = ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
16	15	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
17	14, 16	rspc 3570	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+ → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
18	9, 12, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
19	3, 18, 5	rlimi 15407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
20	18	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 12966	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ)
22		rlimcld2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
23	22	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
24	1	ad4ant14 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
25	23, 24	sseldd 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	25, 26	subcld 11521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15333	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29		rlimcld2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
30	29	ralrimiva 3139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
31	30	ralrimiva 3139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
33		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
34		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
35		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘(𝑧 − 𝐶))
36	13, 34, 35	nfbr 5157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
37	33, 36	nfralw 3292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
38		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − 𝐶))
39	38	fveq2d 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
40	15, 39	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
41	40	ralbidv 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
42	37, 41	rspc 3570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
43	9, 32, 42	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
44	43	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
45		fvoveq1 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧 − 𝐶)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
46	45	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
47	46	rspcv 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
48	24, 44, 47	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
49	21, 28, 48	lensymd 11315	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
50		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
51	50	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
52	49, 51	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
53	52	nrexdv 3142	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
54		rlimcld2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
56	55, 1	dmmptd 6651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
57		rlimss 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	56, 58	eqsstrrd 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
60		ressxr 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
61	59, 60	sstrdi 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62		supxrunb1 13248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
64	54, 63	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
65	64	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
66	65	r19.21bi 3232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
67		r19.29 3113	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
68	67	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
69	66, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
70	53, 69	mtod 197	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
71	70	nrexdv 3142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
72	19, 71	condan 816	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ⦋csb 3858   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9385  ℂcc 11058  ℝcr 11059  +∞cpnf 11195  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  ℝ⁺crp 12924  abscabs 15131   ⇝_𝑟 crli 15379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-rlim 15383

This theorem is referenced by:  rlimrege0  15473  rlimrecl  15474