Theorem rlimcld2 15485

Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcld2.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
rlimcld2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimcld2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcld2.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2	1	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
4		rlimcld2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
9	7, 8	eldifd 3908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10		rlimcld2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	10	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13		nfcsb1v 3869	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅
14	13	nfel1 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+
15		csbeq1a 3859	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝑅 = ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
16	15	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
17	14, 16	rspc 3560	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+ → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
18	9, 12, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
19	3, 18, 5	rlimi 15420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
20	18	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 12934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ)
22		rlimcld2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
24	1	ad4ant14 752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
25	23, 24	sseldd 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	25, 26	subcld 11472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15346	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29		rlimcld2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
30	29	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
31	30	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
33		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
34		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
35		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘(𝑧 − 𝐶))
36	13, 34, 35	nfbr 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
37	33, 36	nfralw 3279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
38		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − 𝐶))
39	38	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
40	15, 39	breq12d 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
41	40	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
42	37, 41	rspc 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
43	9, 32, 42	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
45		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧 − 𝐶)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
46	45	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
47	46	rspcv 3568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
48	24, 44, 47	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
49	21, 28, 48	lensymd 11264	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
50		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
51	50	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
52	49, 51	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
53	52	nrexdv 3127	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
54		rlimcld2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
56	55, 1	dmmptd 6626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
57		rlimss 15409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	56, 58	eqsstrrd 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
60		ressxr 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
61	59, 60	sstrdi 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62		supxrunb1 13218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
64	54, 63	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
65	64	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
66	65	r19.21bi 3224	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
67		r19.29 3095	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
68	67	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
69	66, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
70	53, 69	mtod 198	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
71	70	nrexdv 3127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
72	19, 71	condan 817	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ⦋csb 3845   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11004  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  rlimrege0  15486  rlimrecl  15487