MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcld2 14927
Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
rlimcld2.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimcld2 (𝜑𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
21ralrimiva 3180 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
32adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐷)
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
54adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14852 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
97, 8eldifd 3945 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10 rlimcld2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1110ralrimiva 3180 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
1211adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13 nfcsb1v 3905 . . . . . 6 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅
1413nfel1 2992 . . . . 5 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+
15 csbeq1a 3895 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶 / 𝑦𝑅)
1615eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
1714, 16rspc 3609 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+))
189, 12, 17sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
193, 18, 5rlimi 14862 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
2018ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 12423 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ∈ ℝ)
22 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
241ad4ant14 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐷)
2523, 24sseldd 3966 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
267ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2725, 26subcld 10989 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
2827abscld 14788 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
29 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3029ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3130ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
3231adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
33 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐷
34 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦
35 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(abs‘(𝑧𝐶))
3613, 34, 35nfbr 5104 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
3733, 36nfralw 3223 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))
38 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐶 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝐶))
3938fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑧𝐶)))
4015, 39breq12d 5070 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4140ralbidv 3195 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
4237, 41rspc 3609 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶))))
439, 32, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
4443ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)))
45 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝐶)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4645breq2d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) ↔ 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4746rspcv 3616 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (∀𝑧𝐷 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝑧𝐶)) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4824, 44, 47sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 / 𝑦𝑅 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4921, 28, 48lensymd 10783 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
50 id 22 . . . . . . 7 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
5150imp 409 . . . . . 6 (((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅)
5249, 51nsyl 142 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
5352nrexdv 3268 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
54 rlimcld2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
5655, 1dmmptd 6486 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
57 rlimss 14851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
584, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5956, 58eqsstrrd 4004 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
60 ressxr 10677 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
6159, 60sstrdi 3977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
62 supxrunb1 12704 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6454, 63mpbird 259 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6564adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
6665r19.21bi 3206 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥)
67 r19.29 3252 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑟𝑥) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥))
6867expcom 416 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝑟𝑥 → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
6966, 68syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐴 ((𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅) ∧ 𝑟𝑥)))
7053, 69mtod 200 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7170nrexdv 3268 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑟𝑥 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐶 / 𝑦𝑅))
7219, 71condan 816 1 (𝜑𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  csb 3881  cdif 3931  wss 3934   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  cc 10527  cr 10528  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12381  abscabs 14585  𝑟 crli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-rlim 14838
This theorem is referenced by:  rlimrege0  14928  rlimrecl  14929
  Copyright terms: Public domain W3C validator