Theorem rlimcld2 15745

Description: If 𝐷 is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in 𝐷, then the limit of the sequence also lies in 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcld2.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcld2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
rlimcld2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimcld2.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
rlimcld2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rlimcld2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem rlimcld2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcld2.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
2	1	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐷)
4		rlimcld2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
6		rlimcl 15670	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
9	7, 8	eldifd 3910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
10		rlimcld2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	10	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+)
13		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅
14	13	nfel1 2939	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+
15		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝑅 = ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
16	15	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
17	14, 16	rspc 3565	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)𝑅 ∈ ℝ+ → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+))
18	9, 12, 17	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
19	3, 18, 5	rlimi 15680	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
20	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ+)
21	20	rpred 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ∈ ℝ)
22		rlimcld2.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
24	1	ad4ant14 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐷)
25	23, 24	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	25, 26	subcld 11669	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29		rlimcld2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
30	29	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
31	30	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
33		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
34		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
35		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘(𝑧 − 𝐶))
36	13, 34, 35	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
37	33, 36	nfralw 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))
38		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − 𝐶))
39	38	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
40	15, 39	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
41	40	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
42	37, 41	rspc 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶))))
43	9, 32, 42	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)))
45		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧 − 𝐶)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
46	45	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) ↔ ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
47	46	rspcv 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (∀𝑧 ∈ 𝐷 ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐶)) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
48	24, 44, 47	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
49	21, 28, 48	lensymd 11461	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
50		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
51	50	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅)
52	49, 51	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
53	52	nrexdv 3158	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
54		rlimcld2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
56	55, 1	dmmptd 6684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
57		rlimss 15669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
58	4, 57	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	56, 58	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
60		ressxr 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
61	59, 60	sstrdi 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62		supxrunb1 13449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
64	54, 63	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
65	64	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
66	65	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥)
67		r19.29 3126	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))
68	67	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑥 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
69	66, 68	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅) ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)))
70	53, 69	mtod 201	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
71	70	nrexdv 3158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑟 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < ⦋𝐶 / 𝑦⦌𝑅))
72	19, 71	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9432  ℂcc 11198  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝_𝑟 crli 15652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-rlim 15656

This theorem is used by:  rlimrege0  15746  rlimrecl  15747