Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fal 1555 |
. . . 4
⊢ ¬
⊥ |
2 | | rlimno1.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
3 | | rlimno1.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0) |
4 | 2, 3 | reccld 11727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ) |
5 | 4 | ralrimiva 3109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ) |
6 | 5 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ) |
7 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ) |
8 | | 1re 10959 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ |
9 | | ifcl 4509 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ) |
10 | 7, 8, 9 | sylancl 585 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ) |
11 | | 1rp 12716 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ+) |
13 | | max1 12901 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑦
∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) |
14 | 8, 7, 13 | sylancr 586 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤
𝑦, 𝑦, 1)) |
15 | 10, 12, 14 | rpgecld 12793 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈
ℝ+) |
16 | 15 | rpreccld 12764 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈
ℝ+) |
17 | | rlimno1.2 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟
0) |
18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟
0) |
19 | 6, 16, 18 | rlimi 15203 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))) |
20 | | dmmptg 6142 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴) |
21 | 5, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴) |
22 | | rlimss 15192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0 → dom
(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ) |
23 | 17, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ) |
24 | 21, 23 | eqsstrrd 3964 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
25 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
26 | | rexanre 15039 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ →
(∃𝑐 ∈ ℝ
∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))) |
28 | | rlimno1.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞) |
29 | | ressxr 11003 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
30 | 24, 29 | sstrdi 3937 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆
ℝ*) |
31 | | supxrunb1 13035 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑐 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
33 | 28, 32 | mpbird 256 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥) |
34 | 33 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥) |
35 | | r19.29 3185 |
. . . . . . . 8
⊢
((∀𝑐 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))) |
36 | | r19.29r 3186 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((∃𝑥 ∈
𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))) |
37 | 2 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
38 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ) |
39 | 3 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0) |
40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ 0) |
41 | 38, 40 | reccld 11727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ) |
42 | 41 | subid1d 11304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((1 / 𝐵) − 0) = (1 / 𝐵)) |
43 | 42 | fveq2d 6772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (abs‘(1 / 𝐵))) |
44 | | 1cnd 10954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℂ) |
45 | 44, 38, 40 | absdivd 15148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘(1 / 𝐵)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐵))) |
46 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ) |
47 | | 0le1 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 0 ≤
1 |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1) |
49 | 46, 48 | absidd 15115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘1) = 1) |
50 | 49 | oveq1d 7283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘1) / (abs‘𝐵)) = (1 / (abs‘𝐵))) |
51 | 43, 45, 50 | 3eqtrd 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (1 / (abs‘𝐵))) |
52 | 15 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈
ℝ+) |
53 | 52 | rprecred 12765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ) |
54 | 37, 39 | absrpcld 15141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈
ℝ+) |
55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈
ℝ+) |
56 | 55 | rprecred 12765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / (abs‘𝐵)) ∈ ℝ) |
57 | 55 | rpred 12754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ) |
58 | 7 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) |
59 | 10 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ) |
60 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) |
61 | | max2 12903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑦
∈ ℝ) → 𝑦
≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) |
62 | 8, 58, 61 | sylancr 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) |
63 | 57, 58, 59, 60, 62 | letrd 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) |
64 | 55, 52, 46, 48, 63 | lediv2ad 12776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ≤ (1 / (abs‘𝐵))) |
65 | 53, 56, 64 | lensymd 11109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (1 / (abs‘𝐵)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) |
66 | 51, 65 | eqnbrtrd 5096 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1
≤ 𝑦, 𝑦, 1))) |
67 | 66 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) → ⊥)) |
68 | 67 | expimpd 453 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) → ⊥)) |
69 | 68 | ancomsd 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1
≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥)) |
70 | 69 | imim2d 57 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → ⊥))) |
71 | 70 | impcomd 411 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥)) |
72 | 71 | rexlimdva 3214 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥)) |
73 | 36, 72 | syl5 34 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥)) |
74 | 73 | rexlimdvw 3220 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥)) |
75 | 35, 74 | syl5 34 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥)) |
76 | 34, 75 | mpand 691 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥)) |
77 | 27, 76 | sylbird 259 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥)) |
78 | 19, 77 | mpand 691 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥)) |
79 | 1, 78 | mtoi 198 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) |
80 | 79 | nrexdv 3199 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) |
81 | 24, 2 | elo1mpt 15224 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) |
82 | | rexcom 3283 |
. . 3
⊢
(∃𝑐 ∈
ℝ ∃𝑦 ∈
ℝ ∀𝑥 ∈
𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) |
83 | 81, 82 | bitrdi 286 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) |
84 | 80, 83 | mtbird 324 |
1
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)) |