Theorem rlimno1 15821

Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimno1.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimno1.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
rlimno1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimno1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rlimno1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rlimno1

Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fal 1584	. . . 4 ⊢ ¬ ⊥
2		rlimno1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rlimno1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
4	2, 3	reccld 12086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		1re 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		ifcl 4528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
11		1rp 13124	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ+)
13		max1 13315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
14	8, 7, 13	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
15	10, 12, 14	rpgecld 13203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 13174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ+)
17		rlimno1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
19	6, 16, 18	rlimi 15680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))))
20		dmmptg 6243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
22		rlimss 15669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
23	17, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
24	21, 23	eqsstrrd 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26		rexanre 15514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
28		rlimno1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29		ressxr 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
30	24, 29	sstrdi 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31		supxrunb1 13449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
33	28, 32	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥)
34	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥)
35		r19.29 3126	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
36		r19.29r 3127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
37	2	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	3	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ 0)
41	38, 40	reccld 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
42	41	subid1d 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((1 / 𝐵) − 0) = (1 / 𝐵))
43	42	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (abs‘(1 / 𝐵)))
44		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
45	44, 38, 40	absdivd 15625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘(1 / 𝐵)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐵)))
46	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
47		0le1 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ 1
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
49	46, 48	absidd 15590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘1) = 1)
50	49	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘1) / (abs‘𝐵)) = (1 / (abs‘𝐵)))
51	43, 45, 50	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (1 / (abs‘𝐵)))
52	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
53	52	rprecred 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ)
54	37, 39	absrpcld 15618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
56	55	rprecred 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	55	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
58	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
59	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
60		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
61		max2 13317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
62	8, 58, 61	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
63	57, 58, 59, 60, 62	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
64	55, 52, 46, 48, 63	lediv2ad 13186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ≤ (1 / (abs‘𝐵)))
65	53, 56, 64	lensymd 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (1 / (abs‘𝐵)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
66	51, 65	eqnbrtrd 5123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
67	66	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) → ⊥))
68	67	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) → ⊥))
69	68	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
70	69	imim2d 58	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → ⊥)))
71	70	impcomd 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
72	71	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
73	36, 72	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
74	73	rexlimdvw 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
75	35, 74	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
76	34, 75	mpand 708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
77	27, 76	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
78	19, 77	mpand 708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
79	1, 78	mtoi 202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
80	79	nrexdv 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
81	24, 2	elo1mpt 15701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
82		rexcom 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
83	81, 82	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
84	80, 83	mtbird 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9432  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝_𝑟 crli 15652  𝑂(1)co1 15653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-rlim 15656  df-o1 15657  df-lo1 15658

This theorem is used by:  logno1  26964