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Theorem rlimno1 15346
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimno1.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
rlimno1.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimno1.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimno1 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1555 . . . 4 ¬ ⊥
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
42, 3reccld 11727 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
54ralrimiva 3109 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 1re 10959 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
9 ifcl 4509 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
11 1rp 12716 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ+)
13 max1 12901 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
148, 7, 13sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
1510, 12, 14rpgecld 12793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
1615rpreccld 12764 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ+)
17 rlimno1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
196, 16, 18rlimi 15203 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))))
20 dmmptg 6142 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
22 rlimss 15192 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
2421, 23eqsstrrd 3964 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 rexanre 15039 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29 ressxr 11003 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
3024, 29sstrdi 3937 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
31 supxrunb1 13035 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3328, 32mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥)
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥)
35 r19.29 3185 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
36 r19.29r 3186 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑥𝐴 (𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
372adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
393adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ 0)
4138, 40reccld 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
4241subid1d 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((1 / 𝐵) − 0) = (1 / 𝐵))
4342fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (abs‘(1 / 𝐵)))
44 1cnd 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
4544, 38, 40absdivd 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘(1 / 𝐵)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐵)))
468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
47 0le1 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
4946, 48absidd 15115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘1) = 1)
5049oveq1d 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘1) / (abs‘𝐵)) = (1 / (abs‘𝐵)))
5143, 45, 503eqtrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (1 / (abs‘𝐵)))
5215ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
5352rprecred 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ)
5437, 39absrpcld 15141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
5655rprecred 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
5755rpred 12754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
587ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
5910ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
61 max2 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
628, 58, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
6357, 58, 59, 60, 62letrd 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
6455, 52, 46, 48, 63lediv2ad 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ≤ (1 / (abs‘𝐵)))
6553, 56, 64lensymd 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (1 / (abs‘𝐵)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
6651, 65eqnbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
6766pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) → ⊥))
6867expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) → ⊥))
6968ancomsd 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
7069imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → (𝑐𝑥 → ⊥)))
7170impcomd 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7271rexlimdva 3214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7336, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7473rexlimdvw 3220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7535, 74syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7634, 75mpand 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
7727, 76sylbird 259 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
7819, 77mpand 691 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
791, 78mtoi 198 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8079nrexdv 3199 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8124, 2elo1mpt 15224 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
82 rexcom 3283 . . 3 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8381, 82bitrdi 286 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
8480, 83mtbird 324 1 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wfal 1553  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  wss 3891  ifcif 4464   class class class wbr 5078  cmpt 5161  dom cdm 5588  cfv 6430  (class class class)co 7268  supcsup 9160  cc 10853  cr 10854  0cc0 10855  1c1 10856  +∞cpnf 10990  *cxr 10992   < clt 10993  cle 10994  cmin 11188   / cdiv 11615  +crp 12712  abscabs 14926  𝑟 crli 15175  𝑂(1)co1 15176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-rlim 15179  df-o1 15180  df-lo1 15181
This theorem is referenced by:  logno1  25772
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