Theorem rlimno1 15561

Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimno1.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimno1.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
rlimno1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimno1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rlimno1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rlimno1

Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fal 1554	. . . 4 ⊢ ¬ ⊥
2		rlimno1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rlimno1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
4	2, 3	reccld 11893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		1re 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		ifcl 4522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
11		1rp 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ+)
13		max1 13087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
14	8, 7, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
15	10, 12, 14	rpgecld 12976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpreccld 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ+)
17		rlimno1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
19	6, 16, 18	rlimi 15420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))))
20		dmmptg 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
22		rlimss 15409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
24	21, 23	eqsstrrd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26		rexanre 15254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
28		rlimno1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29		ressxr 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
30	24, 29	sstrdi 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31		supxrunb1 13221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
33	28, 32	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥)
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥)
35		r19.29 3092	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
36		r19.29r 3093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
37	2	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	3	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ 0)
41	38, 40	reccld 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
42	41	subid1d 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((1 / 𝐵) − 0) = (1 / 𝐵))
43	42	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (abs‘(1 / 𝐵)))
44		1cnd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
45	44, 38, 40	absdivd 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘(1 / 𝐵)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐵)))
46	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
47		0le1 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ 1
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
49	46, 48	absidd 15330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘1) = 1)
50	49	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘1) / (abs‘𝐵)) = (1 / (abs‘𝐵)))
51	43, 45, 50	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (1 / (abs‘𝐵)))
52	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
53	52	rprecred 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ)
54	37, 39	absrpcld 15358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
56	55	rprecred 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	55	rpred 12937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
58	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
59	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
61		max2 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
62	8, 58, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
63	57, 58, 59, 60, 62	letrd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
64	55, 52, 46, 48, 63	lediv2ad 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ≤ (1 / (abs‘𝐵)))
65	53, 56, 64	lensymd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (1 / (abs‘𝐵)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
66	51, 65	eqnbrtrd 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
67	66	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) → ⊥))
68	67	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) → ⊥))
69	68	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
70	69	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → ⊥)))
71	70	impcomd 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
72	71	rexlimdva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 ∧ (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
73	36, 72	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
74	73	rexlimdvw 3135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
75	35, 74	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
76	34, 75	mpand 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
77	27, 76	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
78	19, 77	mpand 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
79	1, 78	mtoi 199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
80	79	nrexdv 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
81	24, 2	elo1mpt 15441	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
82		rexcom 3258	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
83	81, 82	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
84	80, 83	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊥wfal 1552   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  supcsup 9330  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℝ⁺crp 12893  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392  𝑂(1)co1 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396  df-o1 15397  df-lo1 15398

This theorem is referenced by:  logno1  26543