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Theorem rlimno1 15636
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimno1.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
rlimno1.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimno1.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimno1 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1547 . . . 4 ¬ ⊥
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
42, 3reccld 12016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
54ralrimiva 3135 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
65adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
7 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 1re 11246 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
9 ifcl 4575 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
11 1rp 13013 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ+)
13 max1 13199 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
148, 7, 13sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
1510, 12, 14rpgecld 13090 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
1615rpreccld 13061 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ+)
17 rlimno1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
1817adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0)
196, 16, 18rlimi 15493 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))))
20 dmmptg 6248 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (1 / 𝐵) ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) = 𝐴)
22 rlimss 15482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⇝𝑟 0 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵)) ⊆ ℝ)
2421, 23eqsstrrd 4016 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 rexanre 15329 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
29 ressxr 11290 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
3024, 29sstrdi 3989 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
31 supxrunb1 13333 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3328, 32mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥)
3433adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥)
35 r19.29 3103 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
36 r19.29r 3105 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ∃𝑥𝐴 (𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
372adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
393adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝐵 ≠ 0)
4138, 40reccld 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
4241subid1d 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((1 / 𝐵) − 0) = (1 / 𝐵))
4342fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (abs‘(1 / 𝐵)))
44 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
4544, 38, 40absdivd 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘(1 / 𝐵)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐵)))
468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
47 0le1 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
4946, 48absidd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘1) = 1)
5049oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘1) / (abs‘𝐵)) = (1 / (abs‘𝐵)))
5143, 45, 503eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) = (1 / (abs‘𝐵)))
5215ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ+)
5352rprecred 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∈ ℝ)
5437, 39absrpcld 15431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ+)
5655rprecred 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
5755rpred 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
587ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
5910ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1) ∈ ℝ)
60 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
61 max2 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
628, 58, 61sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
6357, 58, 59, 60, 62letrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (abs‘𝐵) ≤ if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))
6455, 52, 46, 48, 63lediv2ad 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ≤ (1 / (abs‘𝐵)))
6553, 56, 64lensymd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (1 / (abs‘𝐵)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
6651, 65eqnbrtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ¬ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)))
6766pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) → ⊥))
6867expimpd 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) → ⊥))
6968ancomsd 464 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
7069imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → (𝑐𝑥 → ⊥)))
7170impcomd 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7271rexlimdva 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑐𝑥 ∧ (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7336, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7473rexlimdvw 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7535, 74syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∀𝑐 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑐𝑥 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))) → ⊥))
7634, 75mpand 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → ((abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1)) ∧ (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
7727, 76sylbird 259 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘((1 / 𝐵) − 0)) < (1 / if(1 ≤ 𝑦, 𝑦, 1))) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)) → ⊥))
7819, 77mpand 693 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ⊥))
791, 78mtoi 198 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8079nrexdv 3138 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8124, 2elo1mpt 15514 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
82 rexcom 3277 . . 3 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
8381, 82bitrdi 286 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
8480, 83mtbird 324 1 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wfal 1545  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  +crp 13009  abscabs 15217  𝑟 crli 15465  𝑂(1)co1 15466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-rlim 15469  df-o1 15470  df-lo1 15471
This theorem is referenced by:  logno1  26615
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