Theorem rlimsqzlem 15595

Description: Lemma for rlimsqz 15596 and rlimsqz2 15597. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elicopnf 13422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
7	6	simprbda 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	dmmptd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		rlimss 15446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	6	simplbda 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
19	18	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
23	22	anassrs 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
24	23	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
25	21, 24	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
28	27	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
31	30	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32		rlimcl 15447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	33	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
35	10, 34	subcld 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
37	36	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
38		rpre 12982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40		lelttr 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
41	31, 37, 39, 40	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
42	25, 41	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
43	42	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
44	43	an32s 651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
45	44	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
46	45	ralimdva 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
47	46	reximdva 3169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
48	47	ralimdva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
49	10	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 14, 33, 2	rlim3 15442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦)))
51	26	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
52	51, 14, 27, 2	rlim3 15442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
53	48, 50, 52	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
54	1, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℝ⁺crp 12974  [,)cico 13326  abscabs 15181   ⇝_𝑟 crli 15429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rlim 15433

This theorem is referenced by:  rlimsqz  15596  rlimsqz2  15597  cxploglim2  26483  logfacrlim  26727  logexprlim  26728