MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsqzlem 15599
Description: Lemma for rlimsqz 15600 and rlimsqz2 15601. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
32ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
42ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elicopnf 13426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
76simprbda 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
87adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10dmmptd 6694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 rlimss 15450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
186simplbda 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑧)
1918adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑧)
20 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
213, 8, 17, 19, 20letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑥)
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2322anassrs 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2423adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2521, 24syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
2926, 28subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐸) ∈ ℂ)
3029abscld 15387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
3130ad4ant13 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
32 rlimcl 15451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
3510, 34subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
3635abscld 15387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
3736ad4ant13 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
38 rpre 12986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
3938ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 lelttr 11308 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4131, 37, 39, 40syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4225, 41mpand 691 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4342expr 455 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4443an32s 648 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4544a2d 29 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4645ralimdva 3165 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4746reximdva 3166 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4847ralimdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4910ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5049, 14, 33, 2rlim3 15446 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦)))
5126ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
5251, 14, 27, 2rlim3 15446 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
5348, 50, 523imtr4d 293 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
541, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  wss 3947   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  +∞cpnf 11249   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  +crp 12978  [,)cico 13330  abscabs 15185  𝑟 crli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rlim 15437
This theorem is referenced by:  rlimsqz  15600  rlimsqz2  15601  cxploglim2  26719  logfacrlim  26963  logexprlim  26964
  Copyright terms: Public domain W3C validator