Theorem rlimsqzlem 15556

Description: Lemma for rlimsqz 15557 and rlimsqz2 15558. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elicopnf 13345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
7	6	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	dmmptd 6626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		rlimss 15409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 3965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	6	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
19	18	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
23	22	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
24	23	adantllr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
25	21, 24	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
31	30	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32		rlimcl 15410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
35	10, 34	subcld 11472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
37	36	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
38		rpre 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40		lelttr 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
41	31, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
42	25, 41	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
43	42	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
44	43	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
45	44	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
46	45	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
47	46	reximdva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
48	47	ralimdva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
49	10	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 14, 33, 2	rlim3 15405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦)))
51	26	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
52	51, 14, 27, 2	rlim3 15405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
53	48, 50, 52	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
54	1, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  [,)cico 13247  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  rlimsqz  15557  rlimsqz2  15558  cxploglim2  26916  logfacrlim  27162  logexprlim  27163