MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsqzlem 15436
Description: Lemma for rlimsqz 15437 and rlimsqz2 15438. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
32ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
42ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elicopnf 13256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
76simprbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
87adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10dmmptd 6615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 rlimss 15287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstrrd 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
186simplbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑧)
1918adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑧)
20 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
213, 8, 17, 19, 20letrd 11211 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑥)
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2322anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2423adantllr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2521, 24syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
2926, 28subcld 11411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐸) ∈ ℂ)
3029abscld 15224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
3130ad4ant13 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
32 rlimcl 15288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
3510, 34subcld 11411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
3635abscld 15224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
3736ad4ant13 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
38 rpre 12817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
3938ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 lelttr 11144 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4131, 37, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4225, 41mpand 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4342expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4443an32s 649 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4544a2d 29 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4645ralimdva 3160 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4746reximdva 3161 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4847ralimdva 3160 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4910ralrimiva 3139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5049, 14, 33, 2rlim3 15283 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦)))
5126ralrimiva 3139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
5251, 14, 27, 2rlim3 15283 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
5348, 50, 523imtr4d 293 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
541, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  wss 3896   class class class wbr 5086  cmpt 5169  dom cdm 5607  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948  cr 10949  +∞cpnf 11085   < clt 11088  cle 11089  cmin 11284  +crp 12809  [,)cico 13160  abscabs 15021  𝑟 crli 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-ico 13164  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-rlim 15274
This theorem is referenced by:  rlimsqz  15437  rlimsqz2  15438  cxploglim2  26208  logfacrlim  26452  logexprlim  26453
  Copyright terms: Public domain W3C validator