MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsqzlem 14995
Description: Lemma for rlimsqz 14996 and rlimsqz2 14997. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
32ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
42ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑧)))
76simprbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
87adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10dmmptd 6490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 rlimss 14849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstrrd 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
186simplbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑧)
1918adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑧)
20 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
213, 8, 17, 19, 20letrd 10786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑀𝑥)
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2322anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2423adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
2521, 24syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
2926, 28subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐸) ∈ ℂ)
3029abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
3130ad4ant13 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ)
32 rlimcl 14850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
3510, 34subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
3635abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
3736ad4ant13 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
38 rpre 12387 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
3938ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 lelttr 10720 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐶𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4131, 37, 39, 40syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → (((abs‘(𝐶𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4225, 41mpand 691 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧𝑥)) → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦))
4342expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4443an32s 648 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → ((abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4544a2d 29 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4645ralimdva 3182 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4746reximdva 3279 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4847ralimdva 3182 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
4910ralrimiva 3187 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5049, 14, 33, 2rlim3 14845 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐷)) < 𝑦)))
5126ralrimiva 3187 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
5251, 14, 27, 2rlim3 14845 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐶𝐸)) < 𝑦)))
5348, 50, 523imtr4d 295 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
541, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  +crp 12379  [,)cico 12730  abscabs 14583  𝑟 crli 14832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-rlim 14836
This theorem is referenced by:  rlimsqz  14996  rlimsqz2  14997  cxploglim2  25470  logfacrlim  25714  logexprlim  25715
  Copyright terms: Public domain W3C validator