Theorem rlimsqzlem 15761

Description: Lemma for rlimsqz 15762 and rlimsqz2 15763. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elicopnf 13523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
7	6	simprbda 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	dmmptd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		rlimss 15614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	6	simplbda 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
19	18	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
20		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
23	22	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
24	23	adantllr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
25	21, 24	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
31	30	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32		rlimcl 15615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
33	1, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
35	10, 34	subcld 11618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
37	36	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
38		rpre 13076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40		lelttr 11349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
41	31, 37, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
42	25, 41	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
43	42	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
44	43	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
45	44	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
46	45	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
47	46	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
48	47	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
49	10	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 14, 33, 2	rlim3 15610	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦)))
51	26	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
52	51, 14, 27, 2	rlim3 15610	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
53	48, 50, 52	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
54	1, 53	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  +∞cpnf 11289   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13067  [,)cico 13425  abscabs 15346   ⇝_𝑟 crli 15597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-ico 13429  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-rlim 15601

This theorem is used by:  rlimsqz  15762  rlimsqz2  15763  cxploglim2  27247  logfacrlim  27492  logexprlim  27493