Theorem rlimsqzlem 15574

Description: Lemma for rlimsqz 15575 and rlimsqz2 15576. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elicopnf 13363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
7	6	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	dmmptd 6637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		rlimss 15427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	6	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
19	18	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
23	22	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
24	23	adantllr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
25	21, 24	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
31	30	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32		rlimcl 15428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
35	10, 34	subcld 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
37	36	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
38		rpre 12916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40		lelttr 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
41	31, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
42	25, 41	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
43	42	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
44	43	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
45	44	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
46	45	ralimdva 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
47	46	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
48	47	ralimdva 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
49	10	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 14, 33, 2	rlim3 15423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦)))
51	26	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
52	51, 14, 27, 2	rlim3 15423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
53	48, 50, 52	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
54	1, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℝ⁺crp 12907  [,)cico 13265  abscabs 15159   ⇝_𝑟 crli 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-rlim 15414

This theorem is referenced by:  rlimsqz  15575  rlimsqz2  15576  cxploglim2  26947  logfacrlim  27193  logexprlim  27194