Theorem rlimsqzlem 15697

Description: Lemma for rlimsqz 15698 and rlimsqz2 15699. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqzlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqzlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimsqzlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elicopnf 13505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑧)))
7	6	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	dmmptd 6725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		rlimss 15548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	6	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
19	18	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
23	22	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
24	23	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
25	21, 24	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)))
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
31	30	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32		rlimcl 15549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
35	10, 34	subcld 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
36	35	abscld 15485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
37	36	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
38		rpre 13065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40		lelttr 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
41	31, 37, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → (((abs‘(𝐶 − 𝐸)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
42	25, 41	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦))
43	42	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
44	43	an32s 651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑥 → ((abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
45	44	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
46	45	ralimdva 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
47	46	reximdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
48	47	ralimdva 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
49	10	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 14, 33, 2	rlim3 15544	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐷)) < 𝑦)))
51	26	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
52	51, 14, 27, 2	rlim3 15544	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝑀[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐸)) < 𝑦)))
53	48, 50, 52	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
54	1, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  abscabs 15283   ⇝_𝑟 crli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  rlimsqz  15698  rlimsqz2  15699  cxploglim2  27040  logfacrlim  27286  logexprlim  27287