Theorem rlimi2 15591

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimi.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlimi2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
4	1, 2, 3	rlimi 15590	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
5		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
6	5	fnmpt 6682	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
7		fndm 6645	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	1, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9		rlimss 15579	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	3, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
11	8, 10	eqsstrrd 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rlimi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
13		rexico 15431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
15	4, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  +∞cpnf 11258   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392  abscabs 15311   ⇝_𝑟 crli 15562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ico 13396  df-rlim 15566

This theorem is used by: (None)