Theorem rlimi2 15674

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimi.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlimi2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
4	1, 2, 3	rlimi 15673	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
6	5	fnmpt 6677	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
7		fndm 6640	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	1, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9		rlimss 15662	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	3, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
11	8, 10	eqsstrrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rlimi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
13		rexico 15514	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
15	4, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  +∞cpnf 11333   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℝ⁺crp 13113  [,)cico 13471  abscabs 15394   ⇝_𝑟 crli 15645

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ico 13475  df-rlim 15649

This theorem is used by: (None)