Theorem rlimneg 15006

Description: Limit of the negative of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimneg	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 10637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2		rlimneg.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		rlimneg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
4	2, 3	rlimmptrcl 14967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2	ralrimiva 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		rlimss 14862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstrrd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		0cn 10636	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		rlimconst 14904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
13	10, 11, 12	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
14	1, 4, 13, 3	rlimsub 15003	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵)) ⇝𝑟 (0 − 𝐶))
15		df-neg 10876	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
16	15	mpteq2i 5161	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵))
17		df-neg 10876	. 2 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
18	14, 16, 17	3brtr4g 5103	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540   − cmin 10873  -cneg 10874   ⇝_𝑟 crli 14845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-rlim 14849

This theorem is referenced by: (None)