MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimneg 15596
Description: Limit of the negative of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimneg.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimneg.2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimneg (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimneg
StepHypRef Expression
1 0cnd 11208 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2 rlimneg.1 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3 rlimneg.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
42, 3rlimmptrcl 15555 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
52ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6234 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑘𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑘𝐴𝐵) = 𝐴)
8 rlimss 15449 . . . . . 6 ((𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
93, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
107, 9eqsstrrd 4016 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
11 0cn 11207 . . . 4 0 ∈ ℂ
12 rlimconst 15491 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑘𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
1310, 11, 12sylancl 585 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
141, 4, 13, 3rlimsub 15592 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (0 − 𝐵)) ⇝𝑟 (0 − 𝐶))
15 df-neg 11448 . . 3 -𝐵 = (0 − 𝐵)
1615mpteq2i 5246 . 2 (𝑘𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑘𝐴 ↦ (0 − 𝐵))
17 df-neg 11448 . 2 -𝐶 = (0 − 𝐶)
1814, 16, 173brtr4g 5175 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  (class class class)co 7404  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  cmin 11445  -cneg 11446  𝑟 crli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-rlim 15436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator