MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnsn 19429
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0 𝐷 = {𝐴}
psgnsn.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnsn.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnsn ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21gsum0 18609 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
3 psgnsn.g . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
4 psgnsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝐴}
63, 4, 5symg1bas 19299 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐵 = {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
76eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}}))
87biimpa 477 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
9 elsni 4645 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → 𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
105reseq2i 5978 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {𝐴})
11 snex 5431 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ V
1211snid 4664 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
135, 12eqeltri 2829 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ {{𝐴}}
143symgid 19310 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {{𝐴}} → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
16 restidsing 6052 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
17 xpsng 7139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1817anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1916, 18eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2010, 15, 193eqtr3a 2796 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
22 id 22 . . . . . . . . 9 ({⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋 → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2322eqcoms 2740 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2421, 23sylan9eqr 2794 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} ∧ (𝐴𝑉𝑋𝐵)) → (0g𝐺) = 𝑋)
2524ex 413 . . . . . 6 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
269, 25syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
278, 26mpcom 38 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋)
282, 27eqtr2id 2785 . . 3 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝐺 Σg ∅))
2928fveq2d 6895 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)))
305, 11eqeltri 2829 . . . 4 𝐷 ∈ V
31 wrd0 14493 . . . 4 ∅ ∈ Word ∅
3230, 31pm3.2i 471 . . 3 (𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅)
335fveq2i 6894 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{𝐴})
34 pmtrsn 19428 . . . . . . 7 (pmTrsp‘{𝐴}) = ∅
3533, 34eqtri 2760 . . . . . 6 (pmTrsp‘𝐷) = ∅
3635rneqi 5936 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran ∅
37 rn0 5925 . . . . 5 ran ∅ = ∅
3836, 37eqtr2i 2761 . . . 4 ∅ = ran (pmTrsp‘𝐷)
39 psgnsn.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
403, 38, 39psgnvalii 19418 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
4132, 40mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
42 hash0 14331 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4342oveq2i 7422 . . . 4 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
44 neg1cn 12330 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
45 exp0 14035 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
4644, 45ax-mp 5 . . . 4 (-1↑0) = 1
4743, 46eqtri 2760 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = 1
4847a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
4929, 41, 483eqtrd 2776 1 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  c0 4322  {csn 4628  cop 4634   I cid 5573   × cxp 5674  ran crn 5677  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  -cneg 11449  cexp 14031  chash 14294  Word cword 14468  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  SymGrpcsymg 19275  pmTrspcpmtr 19350  pmSgncpsgn 19398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400
This theorem is referenced by:  m1detdiag  22319
  Copyright terms: Public domain W3C validator