MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnsn 19388
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0 𝐷 = {𝐴}
psgnsn.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnsn.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnsn ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21gsum0 18603 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
3 psgnsn.g . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
4 psgnsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝐴}
63, 4, 5symg1bas 19258 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐵 = {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
76eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}}))
87biimpa 478 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
9 elsni 4646 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → 𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
105reseq2i 5979 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {𝐴})
11 snex 5432 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ V
1211snid 4665 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
135, 12eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ {{𝐴}}
143symgid 19269 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {{𝐴}} → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
16 restidsing 6053 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
17 xpsng 7137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1817anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1916, 18eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2010, 15, 193eqtr3a 2797 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2120adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
22 id 22 . . . . . . . . 9 ({⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋 → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2322eqcoms 2741 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2421, 23sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} ∧ (𝐴𝑉𝑋𝐵)) → (0g𝐺) = 𝑋)
2524ex 414 . . . . . 6 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
269, 25syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
278, 26mpcom 38 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋)
282, 27eqtr2id 2786 . . 3 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝐺 Σg ∅))
2928fveq2d 6896 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)))
305, 11eqeltri 2830 . . . 4 𝐷 ∈ V
31 wrd0 14489 . . . 4 ∅ ∈ Word ∅
3230, 31pm3.2i 472 . . 3 (𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅)
335fveq2i 6895 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{𝐴})
34 pmtrsn 19387 . . . . . . 7 (pmTrsp‘{𝐴}) = ∅
3533, 34eqtri 2761 . . . . . 6 (pmTrsp‘𝐷) = ∅
3635rneqi 5937 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran ∅
37 rn0 5926 . . . . 5 ran ∅ = ∅
3836, 37eqtr2i 2762 . . . 4 ∅ = ran (pmTrsp‘𝐷)
39 psgnsn.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
403, 38, 39psgnvalii 19377 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
4132, 40mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
42 hash0 14327 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4342oveq2i 7420 . . . 4 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
44 neg1cn 12326 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
45 exp0 14031 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
4644, 45ax-mp 5 . . . 4 (-1↑0) = 1
4743, 46eqtri 2761 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = 1
4847a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
4929, 41, 483eqtrd 2777 1 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   I cid 5574   × cxp 5675  ran crn 5678  cres 5679  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  -cneg 11445  cexp 14027  chash 14290  Word cword 14464  Basecbs 17144  0gc0g 17385   Σg cgsu 17386  SymGrpcsymg 19234  pmTrspcpmtr 19309  pmSgncpsgn 19357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359
This theorem is referenced by:  m1detdiag  22099
  Copyright terms: Public domain W3C validator