Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnsn 18716
 Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0 𝐷 = {𝐴}
psgnsn.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnsn.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnsn ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21gsum0 17961 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
3 psgnsn.g . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
4 psgnsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝐴}
63, 4, 5symg1bas 18587 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐵 = {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
76eleq2d 2838 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}}))
87biimpa 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
9 elsni 4540 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → 𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
105reseq2i 5821 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {𝐴})
11 snex 5301 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ V
1211snid 4559 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
135, 12eqeltri 2849 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ {{𝐴}}
143symgid 18597 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {{𝐴}} → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
16 restidsing 5895 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
17 xpsng 6893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1817anidms 571 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1916, 18syl5eq 2806 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2010, 15, 193eqtr3a 2818 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2120adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
22 id 22 . . . . . . . . 9 ({⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋 → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2322eqcoms 2767 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2421, 23sylan9eqr 2816 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} ∧ (𝐴𝑉𝑋𝐵)) → (0g𝐺) = 𝑋)
2524ex 417 . . . . . 6 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
269, 25syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
278, 26mpcom 38 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋)
282, 27syl5req 2807 . . 3 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝐺 Σg ∅))
2928fveq2d 6663 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)))
305, 11eqeltri 2849 . . . 4 𝐷 ∈ V
31 wrd0 13939 . . . 4 ∅ ∈ Word ∅
3230, 31pm3.2i 475 . . 3 (𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅)
335fveq2i 6662 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{𝐴})
34 pmtrsn 18715 . . . . . . 7 (pmTrsp‘{𝐴}) = ∅
3533, 34eqtri 2782 . . . . . 6 (pmTrsp‘𝐷) = ∅
3635rneqi 5779 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran ∅
37 rn0 5768 . . . . 5 ran ∅ = ∅
3836, 37eqtr2i 2783 . . . 4 ∅ = ran (pmTrsp‘𝐷)
39 psgnsn.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
403, 38, 39psgnvalii 18705 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
4132, 40mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
42 hash0 13779 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4342oveq2i 7162 . . . 4 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
44 neg1cn 11789 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
45 exp0 13484 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
4644, 45ax-mp 5 . . . 4 (-1↑0) = 1
4743, 46eqtri 2782 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = 1
4847a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
4929, 41, 483eqtrd 2798 1 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  ∅c0 4226  {csn 4523  ⟨cop 4529   I cid 5430   × cxp 5523  ran crn 5526   ↾ cres 5527  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10574  0cc0 10576  1c1 10577  -cneg 10910  ↑cexp 13480  ♯chash 13741  Word cword 13914  Basecbs 16542  0gc0g 16772   Σg cgsu 16773  SymGrpcsymg 18563  pmTrspcpmtr 18637  pmSgncpsgn 18685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-word 13915  df-lsw 13963  df-concat 13971  df-s1 13998  df-substr 14051  df-pfx 14081  df-splice 14160  df-reverse 14169  df-s2 14258  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-tset 16643  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mhm 18023  df-submnd 18024  df-efmnd 18101  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-subg 18344  df-ghm 18424  df-gim 18467  df-oppg 18542  df-symg 18564  df-pmtr 18638  df-psgn 18687 This theorem is referenced by:  m1detdiag  21298
 Copyright terms: Public domain W3C validator