MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnsn 18335
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0 𝐷 = {𝐴}
psgnsn.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnsn.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnsn ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21gsum0 17675 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
3 psgnsn.g . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
4 psgnsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝐴}
63, 4, 5symg1bas 18210 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐵 = {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
76eleq2d 2845 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}}))
87biimpa 470 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}})
9 elsni 4415 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → 𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
105reseq2i 5641 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {𝐴})
11 snex 5142 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ V
1211snid 4430 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
135, 12eqeltri 2855 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ {{𝐴}}
143symgid 18215 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {{𝐴}} → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
16 restidsing 5716 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
17 xpsng 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1817anidms 562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
1916, 18syl5eq 2826 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ( I ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2010, 15, 193eqtr3a 2838 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
2120adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
22 id 22 . . . . . . . . 9 ({⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋 → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2322eqcoms 2786 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → {⟨𝐴, 𝐴⟩} = 𝑋)
2421, 23sylan9eqr 2836 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} ∧ (𝐴𝑉𝑋𝐵)) → (0g𝐺) = 𝑋)
2524ex 403 . . . . . 6 (𝑋 = {⟨𝐴, 𝐴⟩} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
269, 25syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨𝐴, 𝐴⟩}} → ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋))
278, 26mpcom 38 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (0g𝐺) = 𝑋)
282, 27syl5req 2827 . . 3 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝐺 Σg ∅))
2928fveq2d 6452 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)))
305, 11eqeltri 2855 . . . 4 𝐷 ∈ V
31 wrd0 13633 . . . 4 ∅ ∈ Word ∅
3230, 31pm3.2i 464 . . 3 (𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅)
335fveq2i 6451 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{𝐴})
34 pmtrsn 18334 . . . . . . 7 (pmTrsp‘{𝐴}) = ∅
3533, 34eqtri 2802 . . . . . 6 (pmTrsp‘𝐷) = ∅
3635rneqi 5599 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran ∅
37 rn0 5625 . . . . 5 ran ∅ = ∅
3836, 37eqtr2i 2803 . . . 4 ∅ = ran (pmTrsp‘𝐷)
39 psgnsn.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
403, 38, 39psgnvalii 18324 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ∅) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
4132, 40mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
42 hash0 13479 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4342oveq2i 6935 . . . 4 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
44 neg1cn 11501 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
45 exp0 13187 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
4644, 45ax-mp 5 . . . 4 (-1↑0) = 1
4743, 46eqtri 2802 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = 1
4847a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
4929, 41, 483eqtrd 2818 1 ((𝐴𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  c0 4141  {csn 4398  cop 4404   I cid 5262   × cxp 5355  ran crn 5358  cres 5359  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  0cc0 10274  1c1 10275  -cneg 10609  cexp 13183  chash 13441  Word cword 13605  Basecbs 16266  0gc0g 16497   Σg cgsu 16498  SymGrpcsymg 18191  pmTrspcpmtr 18255  pmSgncpsgn 18303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-word 13606  df-lsw 13659  df-concat 13667  df-s1 13692  df-substr 13737  df-pfx 13786  df-splice 13893  df-reverse 13911  df-s2 14005  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-tset 16368  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-gim 18096  df-oppg 18170  df-symg 18192  df-pmtr 18256  df-psgn 18305
This theorem is referenced by:  m1detdiag  20819
  Copyright terms: Public domain W3C validator