Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 39859
 Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20190 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
32, 1evlval 20804 . . . . . . 7 (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
43rneqi 5777 . . . . . 6 ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 20186 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8 zringring 20187 . . . . . . . 8 ring ∈ Ring
91subrgid 19551 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 20810 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝑓𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 20811 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19 simp2r 1197 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20 simp3r 1199 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21 zringplusg 20191 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
224, 21mpfaddcl 20814 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2319, 20, 22syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24 zringmulr 20193 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
254, 24mpfmulcl 20815 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2619, 20, 25syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 39858 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35 simprlr 779 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37 mzpadd 39850 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
3835, 36, 37syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39 mzpmul 39851 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4035, 36, 39syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48 mzpconst 39847 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4948adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50 mzpproj 39849 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
5150adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52 simpr 488 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 20816 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
5434, 53impbida 800 . . 3 (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
5554eqrdv 2796 . 2 (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56 fvprc 6647 . . 3 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57 df-evl 20782 . . . . . . 7 eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
5857reldmmpo 7275 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7184 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6059rneqd 5778 . . . 4 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61 rn0 5766 . . . 4 ran ∅ = ∅
6260, 61eqtrdi 2849 . . 3 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6356, 62eqtr4d 2836 . 2 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
6455, 63pm2.61i 185 1 (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ∅c0 4246  {csn 4528   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  ran crn 5524  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∘f cof 7398   ↑m cmap 8407   + caddc 10547   · cmul 10549  ℤcz 11989  Basecbs 16495  Ringcrg 19311  CRingccrg 19312  SubRingcsubrg 19545  ℤringzring 20184   evalSub ces 20779   eval cevl 20780  mzPolycmzp 39834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-prds 16733  df-pws 16735  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-srg 19270  df-ring 19313  df-cring 19314  df-rnghom 19484  df-subrg 19547  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-cnfld 20113  df-zring 20185  df-assa 20564  df-asp 20565  df-ascl 20566  df-psr 20617  df-mvr 20618  df-mpl 20619  df-evls 20781  df-evl 20782  df-mzpcl 39835  df-mzp 39836 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator