Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 42735
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21482 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
32, 1evlval 22137 . . . . . . 7 (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
43rneqi 5951 . . . . . 6 ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 21477 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8 zringring 21478 . . . . . . . 8 ring ∈ Ring
91subrgid 20590 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 22143 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝑓𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 22144 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19 simp2r 1199 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20 simp3r 1201 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21 zringplusg 21483 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
224, 21mpfaddcl 22147 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24 zringmulr 21486 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
254, 24mpfmulcl 22148 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2619, 20, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 42734 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35 simprlr 780 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36 simprrr 782 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37 mzpadd 42726 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39 mzpmul 42727 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4035, 36, 39syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48 mzpconst 42723 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4948adantlr 715 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50 mzpproj 42725 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
5150adantlr 715 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 22149 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
5434, 53impbida 801 . . 3 (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
5554eqrdv 2733 . 2 (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56 fvprc 6899 . . 3 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57 df-evl 22117 . . . . . . 7 eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
5857reldmmpo 7567 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7470 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6059rneqd 5952 . . . 4 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61 rn0 5939 . . . 4 ran ∅ = ∅
6260, 61eqtrdi 2791 . . 3 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6356, 62eqtr4d 2778 . 2 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
6455, 63pm2.61i 182 1 (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865   + caddc 11156   · cmul 11158  cz 12611  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  ringczring 21475   evalSub ces 22114   eval cevl 22115  mzPolycmzp 42710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116  df-evl 22117  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator