Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 42044
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21336 . . . . . 6 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝐼 eval β„€ring) = (𝐼 eval β„€ring)
32, 1evlval 21996 . . . . . . 7 (𝐼 eval β„€ring) = ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
43rneqi 5929 . . . . . 6 ran (𝐼 eval β„€ring) = ran ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
5 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 21331 . . . . . . 7 β„€ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ring ∈ CRing)
8 zringring 21332 . . . . . . . 8 β„€ring ∈ Ring
91subrgid 20473 . . . . . . . 8 (β„€ring ∈ Ring β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝑓 ∈ β„€)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 22002 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
14 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 22003 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
19 simp2r 1197 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
20 simp3r 1199 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
21 zringplusg 21337 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜β„€ring)
224, 21mpfaddcl 22006 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2319, 20, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
24 zringmulr 21340 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
254, 24mpfmulcl 22007 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2619, 20, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
27 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
28 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
29 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
30 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
31 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
32 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
33 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 42043 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
35 simprlr 777 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
36 simprrr 779 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
37 mzpadd 42035 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
39 mzpmul 42036 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4035, 36, 39syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
41 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
42 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
43 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = π‘₯ β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
44 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
45 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f + 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
46 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
47 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
48 mzpconst 42032 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4948adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
50 mzpproj 42034 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5150adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
52 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 22008 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5434, 53impbida 798 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
5554eqrdv 2724 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
56 fvprc 6876 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = βˆ…)
57 df-evl 21974 . . . . . . 7 eval = (π‘Ž ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((π‘Ž evalSub 𝑏)β€˜(Baseβ€˜π‘)))
5857reldmmpo 7538 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7443 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6059rneqd 5930 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = ran βˆ…)
61 rn0 5918 . . . 4 ran βˆ… = βˆ…
6260, 61eqtrdi 2782 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6356, 62eqtr4d 2769 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
6455, 63pm2.61i 182 1 (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„€cz 12559  Basecbs 17151  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20467  β„€ringczring 21329   evalSub ces 21971   eval cevl 21972  mzPolycmzp 42019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-evls 21973  df-evl 21974  df-mzpcl 42020  df-mzp 42021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator