Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 40790
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20756 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
32, 1evlval 21385 . . . . . . 7 (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
43rneqi 5865 . . . . . 6 ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 20752 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8 zringring 20753 . . . . . . . 8 ring ∈ Ring
91subrgid 20105 . . . . . . . 8 (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 21391 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → 𝑓𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 21392 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19 simp2r 1199 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20 simp3r 1201 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21 zringplusg 20757 . . . . . . 7 + = (+g‘ℤring)
224, 21mpfaddcl 21395 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24 zringmulr 20759 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
254, 24mpfmulcl 21396 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
2619, 20, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 40789 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35 simprlr 777 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36 simprrr 779 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37 mzpadd 40781 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39 mzpmul 40782 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4035, 36, 39syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = (𝑥f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47 eleq1 2824 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48 mzpconst 40778 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
4948adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50 mzpproj 40780 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
5150adantlr 712 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52 simpr 485 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 21397 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
5434, 53impbida 798 . . 3 (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
5554eqrdv 2734 . 2 (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56 fvprc 6803 . . 3 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57 df-evl 21363 . . . . . . 7 eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
5857reldmmpo 7449 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7355 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6059rneqd 5866 . . . 4 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61 rn0 5854 . . . 4 ran ∅ = ∅
6260, 61eqtrdi 2792 . . 3 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
6356, 62eqtr4d 2779 . 2 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
6455, 63pm2.61i 182 1 (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3440  c0 4266  {csn 4570  cmpt 5169   × cxp 5605  ran crn 5608  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  f cof 7572  m cmap 8664   + caddc 10953   · cmul 10955  cz 12398  Basecbs 16986  Ringcrg 19855  CRingccrg 19856  SubRingcsubrg 20099  ringczring 20750   evalSub ces 21360   eval cevl 21361  mzPolycmzp 40765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-ofr 7575  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-sup 9277  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-hash 14124  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-prds 17232  df-pws 17234  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-mhm 18504  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-mulg 18774  df-subg 18825  df-ghm 18905  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-srg 19814  df-ring 19857  df-cring 19858  df-rnghom 20031  df-subrg 20101  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-lsp 20314  df-cnfld 20678  df-zring 20751  df-assa 21140  df-asp 21141  df-ascl 21142  df-psr 21192  df-mvr 21193  df-mpl 21194  df-evls 21362  df-evl 21363  df-mzpcl 40766  df-mzp 40767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator