Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 41113
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20891 . . . . . 6 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐼 eval β„€ring) = (𝐼 eval β„€ring)
32, 1evlval 21521 . . . . . . 7 (𝐼 eval β„€ring) = ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
43rneqi 5893 . . . . . 6 ran (𝐼 eval β„€ring) = ran ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
5 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 20887 . . . . . . 7 β„€ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ring ∈ CRing)
8 zringring 20888 . . . . . . . 8 β„€ring ∈ Ring
91subrgid 20238 . . . . . . . 8 (β„€ring ∈ Ring β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
12 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝑓 ∈ β„€)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 21527 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
14 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
17 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 21528 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
19 simp2r 1201 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
20 simp3r 1203 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
21 zringplusg 20892 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜β„€ring)
224, 21mpfaddcl 21531 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
24 zringmulr 20894 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
254, 24mpfmulcl 21532 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2619, 20, 25syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
27 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
28 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
29 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
30 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
31 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
32 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
33 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 41112 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
35 simprlr 779 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
36 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
37 mzpadd 41104 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
39 mzpmul 41105 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4035, 36, 39syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
41 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
42 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
43 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = π‘₯ β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
44 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
45 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f + 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
46 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
47 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
48 mzpconst 41101 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4948adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
50 mzpproj 41103 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5150adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
52 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 21533 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5434, 53impbida 800 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
5554eqrdv 2731 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
56 fvprc 6835 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = βˆ…)
57 df-evl 21499 . . . . . . 7 eval = (π‘Ž ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((π‘Ž evalSub 𝑏)β€˜(Baseβ€˜π‘)))
5857reldmmpo 7491 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7397 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6059rneqd 5894 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = ran βˆ…)
61 rn0 5882 . . . 4 ran βˆ… = βˆ…
6260, 61eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6356, 62eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
6455, 63pm2.61i 182 1 (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ↑m cmap 8768   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„€cz 12504  Basecbs 17088  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  SubRingcsubrg 20232  β„€ringczring 20885   evalSub ces 21496   eval cevl 21497  mzPolycmzp 41088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-srg 19923  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-evls 21498  df-evl 21499  df-mzpcl 41089  df-mzp 41090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator