Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpmfp 42167
Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21379 . . . . . 6 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝐼 eval β„€ring) = (𝐼 eval β„€ring)
32, 1evlval 22041 . . . . . . 7 (𝐼 eval β„€ring) = ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
43rneqi 5939 . . . . . 6 ran (𝐼 eval β„€ring) = ran ((𝐼 evalSub β„€ring)β€˜β„€)
5 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝐼 ∈ V)
6 zringcrng 21374 . . . . . . 7 β„€ring ∈ CRing
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ring ∈ CRing)
8 zringring 21375 . . . . . . . 8 β„€ring ∈ Ring
91subrgid 20512 . . . . . . . 8 (β„€ring ∈ Ring β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ 𝑓 ∈ β„€)
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 22047 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
14 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
156a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ring ∈ CRing)
1610a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„€ring))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 22048 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
19 simp2r 1198 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
20 simp3r 1200 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
21 zringplusg 21380 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜β„€ring)
224, 21mpfaddcl 22051 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2319, 20, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
24 zringmulr 21383 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
254, 24mpfmulcl 22052 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
2619, 20, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ (𝑔:(β„€ ↑m 𝐼)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
27 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
28 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
29 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
30 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
31 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
32 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
33 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 42166 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
35 simprlr 779 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
36 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
37 mzpadd 42158 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
39 mzpmul 42159 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4035, 36, 39syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ ((π‘₯ ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval β„€ring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
41 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
42 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
43 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = π‘₯ β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘₯ ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
44 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ 𝑦 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
45 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f + 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f + 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
46 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
47 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ)))
48 mzpconst 42155 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
4948adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((β„€ ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
50 mzpproj 42157 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5150adantlr 714 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (β„€ ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)) ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
52 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring))
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 22053 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)) β†’ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ))
5434, 53impbida 800 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜πΌ) ↔ π‘Ž ∈ ran (𝐼 eval β„€ring)))
5554eqrdv 2726 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
56 fvprc 6889 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = βˆ…)
57 df-evl 22019 . . . . . . 7 eval = (π‘Ž ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((π‘Ž evalSub 𝑏)β€˜(Baseβ€˜π‘)))
5857reldmmpo 7555 . . . . . 6 Rel dom eval
5958ovprc1 7459 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6059rneqd 5940 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = ran βˆ…)
61 rn0 5928 . . . 4 ran βˆ… = βˆ…
6260, 61eqtrdi 2784 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ran (𝐼 eval β„€ring) = βˆ…)
6356, 62eqtr4d 2771 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring))
6455, 63pm2.61i 182 1 (mzPolyβ€˜πΌ) = ran (𝐼 eval β„€ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  ran crn 5679  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   ↑m cmap 8845   + caddc 11142   Β· cmul 11144  β„€cz 12589  Basecbs 17180  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  SubRingcsubrg 20506  β„€ringczring 21372   evalSub ces 22016   eval cevl 22017  mzPolycmzp 42142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018  df-evl 22019  df-mzpcl 42143  df-mzp 42144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator