Theorem mzpmfp 42779

Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmfp	⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21388	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
3	2, 1	evlval 22028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
4	3	rneqi 5877	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6		zringcrng 21383	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8		zringring 21384	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
9	1	subrgid 20486	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
13	1, 4, 5, 7, 11, 12	mpfconst 22034	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
15	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤring ∈ CRing)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝐼)
18	1, 4, 14, 15, 16, 17	mpfproj 22035	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21		zringplusg 21389	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
22	4, 21	mpfaddcl 22038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24		zringmulr 21392	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
25	4, 24	mpfmulcl 22039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
26	19, 20, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
34	13, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	mzpindd 42778	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37		mzpadd 42770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39		mzpmul 42771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
40	35, 36, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48		mzpconst 42767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
49	48	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50		mzpproj 42769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
51	50	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
53	1, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52	mpfind 22040	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
54	34, 53	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
55	54	eqrdv 2729	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56		fvprc 6814	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57		df-evl 22008	. . . . . . 7 ⊢ eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
58	57	reldmmpo 7480	. . . . . 6 ⊢ Rel dom eval
59	58	ovprc1 7385	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
60	59	rneqd 5878	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61		rn0 5866	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
62	60, 61	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
63	56, 62	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
64	55, 63	pm2.61i 182	1 ⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ran crn 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750   + caddc 11006   · cmul 11008  ℤcz 12465  Basecbs 17117  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20482  ℤ_ringczring 21381   evalSub ces 22005   eval cevl 22006  mzPolycmzp 42754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-cnfld 21290  df-zring 21382  df-assa 21788  df-asp 21789  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-evls 22007  df-evl 22008  df-mzpcl 42755  df-mzp 42756

This theorem is referenced by: (None)