Theorem mzpmfp 42864

Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmfp	⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21392	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
3	2, 1	evlval 22031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
4	3	rneqi 5881	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6		zringcrng 21387	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8		zringring 21388	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
9	1	subrgid 20490	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
13	1, 4, 5, 7, 11, 12	mpfconst 22037	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
15	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤring ∈ CRing)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝐼)
18	1, 4, 14, 15, 16, 17	mpfproj 22038	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21		zringplusg 21393	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
22	4, 21	mpfaddcl 22041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24		zringmulr 21396	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
25	4, 24	mpfmulcl 22042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
26	19, 20, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
34	13, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	mzpindd 42863	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37		mzpadd 42855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39		mzpmul 42856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
40	35, 36, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48		mzpconst 42852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
49	48	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50		mzpproj 42854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
51	50	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
53	1, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52	mpfind 22043	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
54	34, 53	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
55	54	eqrdv 2731	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56		fvprc 6820	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57		df-evl 22011	. . . . . . 7 ⊢ eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
58	57	reldmmpo 7486	. . . . . 6 ⊢ Rel dom eval
59	58	ovprc1 7391	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
60	59	rneqd 5882	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61		rn0 5870	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
62	60, 61	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
63	56, 62	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
64	55, 63	pm2.61i 182	1 ⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282  {csn 4575   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617  ran crn 5620  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756   + caddc 11016   · cmul 11018  ℤcz 12475  Basecbs 17122  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20486  ℤ_ringczring 21385   evalSub ces 22008   eval cevl 22009  mzPolycmzp 42839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-cnfld 21294  df-zring 21386  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-evls 22010  df-evl 22011  df-mzpcl 42840  df-mzp 42841

This theorem is referenced by: (None)