Theorem mzpmfp 42770

Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmfp	⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21414	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
3	2, 1	evlval 22053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
4	3	rneqi 5917	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6		zringcrng 21409	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8		zringring 21410	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
9	1	subrgid 20533	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
13	1, 4, 5, 7, 11, 12	mpfconst 22059	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
15	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤring ∈ CRing)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝐼)
18	1, 4, 14, 15, 16, 17	mpfproj 22060	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21		zringplusg 21415	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
22	4, 21	mpfaddcl 22063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24		zringmulr 21418	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
25	4, 24	mpfmulcl 22064	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
26	19, 20, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
34	13, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	mzpindd 42769	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37		mzpadd 42761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39		mzpmul 42762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
40	35, 36, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48		mzpconst 42758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
49	48	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50		mzpproj 42760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
51	50	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
53	1, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52	mpfind 22065	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
54	34, 53	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
55	54	eqrdv 2733	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56		fvprc 6868	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57		df-evl 22033	. . . . . . 7 ⊢ eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
58	57	reldmmpo 7541	. . . . . 6 ⊢ Rel dom eval
59	58	ovprc1 7444	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
60	59	rneqd 5918	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61		rn0 5905	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
62	60, 61	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
63	56, 62	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
64	55, 63	pm2.61i 182	1 ⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669   ↑_m cmap 8840   + caddc 11132   · cmul 11134  ℤcz 12588  Basecbs 17228  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  SubRingcsubrg 20529  ℤ_ringczring 21407   evalSub ces 22030   eval cevl 22031  mzPolycmzp 42745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-evls 22032  df-evl 22033  df-mzpcl 42746  df-mzp 42747

This theorem is referenced by: (None)