Theorem mzpmfp 42758

Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmfp	⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Proof of Theorem mzpmfp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21464	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = (𝐼 eval ℤring)
3	2, 1	evlval 22119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 eval ℤring) = ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
4	3	rneqi 5948	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐼 eval ℤring) = ran ((𝐼 evalSub ℤring)‘ℤ)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
6		zringcrng 21459	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤring ∈ CRing)
8		zringring 21460	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∈ Ring
9	1	subrgid 20573	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℤring)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ ℤ)
13	1, 4, 5, 7, 11, 12	mpfconst 22125	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
15	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤring ∈ CRing)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → ℤ ∈ (SubRing‘ℤring))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝐼)
18	1, 4, 14, 15, 16, 17	mpfproj 22126	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
19		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
20		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
21		zringplusg 21465	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℤring)
22	4, 21	mpfaddcl 22129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
24		zringmulr 21468	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
25	4, 24	mpfmulcl 22130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
26	19, 20, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝐼)⟶ℤ ∧ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))) → (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
27		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑓}) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
28		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
29		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑓 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
30		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑔 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑔 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
31		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
32		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
33		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
34	13, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	mzpindd 42757	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
35		simprlr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼))
36		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼))
37		mzpadd 42749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
39		mzpmul 42750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
40	35, 36, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ ((𝑥 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)) ∧ (𝑦 ∈ ran (𝐼 eval ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))) → (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼))
41		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
42		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
43		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑥 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
44		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
45		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f + 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f + 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
46		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∘f · 𝑦) → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ (𝑥 ∘f · 𝑦) ∈ (mzPoly‘𝐼)))
47		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼)))
48		mzpconst 42746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
49	48	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝐼) × {𝑥}) ∈ (mzPoly‘𝐼))
50		mzpproj 42748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
51	50	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ (ℤ ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)) ∈ (mzPoly‘𝐼))
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring))
53	1, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52	mpfind 22131	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)) → 𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼))
54	34, 53	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑎 ∈ (mzPoly‘𝐼) ↔ 𝑎 ∈ ran (𝐼 eval ℤring)))
55	54	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
56		fvprc 6898	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ∅)
57		df-evl 22099	. . . . . . 7 ⊢ eval = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑎 evalSub 𝑏)‘(Base‘𝑏)))
58	57	reldmmpo 7567	. . . . . 6 ⊢ Rel dom eval
59	58	ovprc1 7470	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 eval ℤring) = ∅)
60	59	rneqd 5949	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ran ∅)
61		rn0 5936	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
62	60, 61	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ran (𝐼 eval ℤring) = ∅)
63	56, 62	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring))
64	55, 63	pm2.61i 182	1 ⊢ (mzPoly‘𝐼) = ran (𝐼 eval ℤring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866   + caddc 11158   · cmul 11160  ℤcz 12613  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  ℤ_ringczring 21457   evalSub ces 22096   eval cevl 22097  mzPolycmzp 42733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-evls 22098  df-evl 22099  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735

This theorem is referenced by: (None)